Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Основные сведения. В отличие от линейного случая, нелинейные системы могут иметь несколько положений равновесия, причем одни из них являются устойчивыми






В отличие от линейного случая, нелинейные системы могут иметь несколько положений равновесия, причем одни из них являются устойчивыми, а другие- неустойчивыми. Кроме того, при некоторых сочетаниях параметров и внешних воздействий система может не иметь реальных положений равновесия.

Для определения точки равновесия необходимо приравнять нулю производные в дифференциальном уравнении состояния системы

ẋ = f(x, u), x∈ Rn, u ∈ Rm

Если полученные при этом решения будут действительными, то положение равновесия существует, в противном случае оно отсутствует.

Для анализа устойчивости положения равновесия можно использовать метод линейного приближения системы дифференциальных уравнений объекта. С этой целью разложим функцию ƒ (·) в ряд Тейлора при u =const малой окрестности состояния равновесия x0 и, ограничившись первым членом ряда разложения, получим матрицу линейного приближения в виде

Для линеаризованной системы

ẋ = A x

анализ устойчивости положения равновесия сводится к анализу собственных значений матрицы A.

Устойчивость положения равновесия нелинейной системы второго порядка можно определить по ее фазовому портрету, построенному с помощью метода изоклин или полученному в результате моделирования. Процессы в нелинейной автономной системе второго порядка развиваются в силу уравнений

1 = ƒ 1(x1, x2),

2 = ƒ 2(x1, x2),

где ƒ 1, ƒ 2 - известные нелинейные функции, которые описывают нелинейные зависимости (нелинейности) между входными сигналами звеньев. Различают однозначные и неоднозначные нелинейности. К первому виду относятся характеристики, для которых значение ƒ i определяется только текущим значением аргументов. В противном случае характеристика звена называется неоднозначной (значение входной переменной зависит, например, от текущего значения и производной входной переменной).

Анализируя поведение фазовых траекторий вблизи положения равновесия, можно оценить устойчивость объекта экспериментально. Для этого в объекте задаются начальные условия в малой окрестности точки равновесия. Если фазовая траектория стремится к точке, соответствующей положению равновесия, то объект устойчив.


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал