Основные сведения. В отличие от линейного случая, нелинейные системы могут иметь несколько положений равновесия, причем одни из них являются устойчивыми

В отличие от линейного случая, нелинейные системы могут иметь несколько положений равновесия, причем одни из них являются устойчивыми, а другие- неустойчивыми. Кроме того, при некоторых сочетаниях параметров и внешних воздействий система может не иметь реальных положений равновесия.

Для определения точки равновесия необходимо приравнять нулю производные в дифференциальном уравнении состояния системы

ẋ = f(x, u), x∈ Rⁿ, u ∈ R^m

Если полученные при этом решения будут действительными, то положение равновесия существует, в противном случае оно отсутствует.

Для анализа устойчивости положения равновесия можно использовать метод линейного приближения системы дифференциальных уравнений объекта. С этой целью разложим функцию ƒ (·) в ряд Тейлора при u =const малой окрестности состояния равновесия x⁰ и, ограничившись первым членом ряда разложения, получим матрицу линейного приближения в виде

Для линеаризованной системы

ẋ = A x

анализ устойчивости положения равновесия сводится к анализу собственных значений матрицы A.

Устойчивость положения равновесия нелинейной системы второго порядка можно определить по ее фазовому портрету, построенному с помощью метода изоклин или полученному в результате моделирования. Процессы в нелинейной автономной системе второго порядка развиваются в силу уравнений

ẋ ₁ = ƒ ₁(x₁, x₂),

ẋ ₂ = ƒ ₂(x₁, x₂),

где ƒ ₁, ƒ ₂ - известные нелинейные функции, которые описывают нелинейные зависимости (нелинейности) между входными сигналами звеньев. Различают однозначные и неоднозначные нелинейности. К первому виду относятся характеристики, для которых значение ƒ _i определяется только текущим значением аргументов. В противном случае характеристика звена называется неоднозначной (значение входной переменной зависит, например, от текущего значения и производной входной переменной).

Анализируя поведение фазовых траекторий вблизи положения равновесия, можно оценить устойчивость объекта экспериментально. Для этого в объекте задаются начальные условия в малой окрестности точки равновесия. Если фазовая траектория стремится к точке, соответствующей положению равновесия, то объект устойчив.