Решение. Используя данные табл. 1.2

Используя данные табл. 1.2. распределим компании следующим образом: первую группу образуют компании с объемом реализации продукции до 100 млрд. руб., а во вторую группу войдут компании с объемом реализации свыше 100 млрд. руб.

Таблица 4.1.

Группировка 30-ти крупнейших компаний России по объему реализации продукции в 20ХХ г.

Млрд. руб.

Для расчета групповых дисперсий вычислим средние значения балансовой прибыли по каждой группе:

млрд. руб.;

млрд. руб.

Далее рассчитаем групповые дисперсии:

;

.

Тогда внутригрупповая дисперсия в целом по исследуемой совокупности составит:

.

Для расчета межгрупповой дисперсии необходимо знать среднее значение признака в целом по совокупности. Определим общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:

млрд. руб. Некоторое расхождение полученного результата с результатами расчета среднего значения балансовой прибыли в задании № 3 объясняется разной степенью округлений при вычислениях разными способами.

Теперь определим межгрупповую дисперсию:

.

Таким образом, общая дисперсия по правилу сложения дисперсий составит

.

На основании правила сложения дисперсий определим коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Коэффициент детерминации

; т.е. 66 % всей вариации значений балансовой прибыли обусловлено влиянием признака, положенного в основание группировки – величины объема реализации продукции.

Эмпирическое корреляционное отношение

характеризует тесную связь между объемом реализации продукции и величиной балансовой прибыли компаний.

4. Методические указания по выполнению задания №5 на тему «Ряды динамики».

Данные, расположенные в хронологическом порядке, образуют динамический ряд и называются уровнями.

По способу учета данных ряды динамики подразделяются на

· моментные – где данные приведены по состоянию на какой-либо момент времени;

· интервальные – где данные учтены за промежуток (интервал) времени.

Эта классификация относится к тем рядам динамики, уровни которых состоят из абсолютных величин.

От вида динамического ряда зависит способ расчета среднего уровня. Для моментного ряда с равноотстоящими датами средний уровень рассчитывается по формуле средней хронологической:

, где n – число уровней динамического ряда.

Если между уровнями моментного ряда промежутки времени не равны, то применяется следующая формула:

,

где t – промежутки времени между соответствующими уровнями динамического ряда.

В интервальном ряду динамики средний уровень рассчитывается по формуле средней арифметической невзвешенной, если ряд равноинтервальный и по взвешенной, если интервалы не равны.

Для характеристики динамических рядов существует целая система абсолютных и относительных показателей.

Абсолютные показатели – это абсолютные приросты, которые представляют собой разности уровней динамических рядов.

Если при расчете абсолютных приростов для каждого данного показателя времени из уровня, соответствующего этому показателю времени вычитают предыдущий уровень, то получают систему цепных приростов:

, где k=1,..., n.

А если вычитается всегда один и тот же уровень, принятый за базу сравнения то система приростов будет базисной:

.

Относительные показатели динамики – это коэффициенты и темпы роста и прироста. Коэффициенты роста представляют собой отношение уровней динамического ряда и также, как абсолютные приросты, могут быть рассчитаны в цепной и базисной системах:

; .

Выраженные в процентах, коэффициенты роста называются темпами роста:

; .

Коэффициенты и темпы прироста рассчитываются по формулам:

Для обобщающей характеристики динамических рядов, из абсолютных и относительных показателей динамики рассчитывают средние. Средний абсолютный прирост проще всего рассчитать на основе базисного прироста последнего периода:

.

Начальным расчетом для исчисления средних коэффициентов и темпов роста и прироста является расчет среднего коэффициента роста по формуле средней геометрической:

, где m – число цепных коэффициентов роста.

Остальные средние из относительных показателей динамики рассчитывают следующим образом:

.

Между цепными и базисными коэффициентами роста существует взаимосвязь, которая часто используется при практических расчетах в анализе динамических рядов:

· произведение цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста последнего периода;

· отношение двух соседних базисных коэффициентов роста равно цепному коэффициенту.

Докажем первое из этих соотношений для произвольно выбранных характеристик. Пусть ; . Тогда

- базисный коэффициент роста для k+3-го периода времени.

Для иллюстрации второго соотношения, пусть ; . Тогда - цепной коэффициент роста для k+1-го периода времени.

Одним из важнейших направлений анализа динамических рядов является определение основной тенденции развития изучаемого явления во времени. Числовую характеристику основной тенденции ряда динамики (тренда) можно получить с помощью аналитического выравнивания, основанного на методе наименьших квадратов.

Основное требование метода наименьших квадратов состоит в выборе функции, наиболее близкой по конфигурации к графическому изображению фактического ряда динамики и формализуется следующим образом:

, где y – фактические уровни исследуемого динамического ряда; - теоретические, выравненные уровни (точки тренда).

Предварительный выбор вида функции для построения тренда осуществляется на основе качественного анализа изучаемого во времени явления, процесса и т.д. Кроме того для этой цели существуют некоторые простые оценочные методы, например, если в течение изучаемого периода времени были приблизительно равны цепные абсолютные приросты, то в качестве аппроксимирующей функции выбирают линейную .

Покажем для данного случая расчет уравнения тренда методом наименьших квадратов.

Основное требование метода наименьших квадратов для линейной функции выглядит следующим образом:

.

Чтобы добиться минимума данной функции, необходимо взять частные производные по параметрам и , и приравнять их к 0:

Преобразование этих выражений даст следующую систему нормальных уравнений:

, где n – число уровней динамического ряда.

Решив данную систему уравнений любым способом относительно параметров и , получим уравнение тренда.

Полученную систему нормальных уравнений можно существенно упростить, если вспомнить, что аргументами в этих уравнениях выступают показатели времени, которые являются величинами, условно назначенными (например, в христианских странах летоисчисление ведется «от Рождества Христова»). А, следовательно, в наших целях, можно придать показателям времени другие условные значения, с тем, чтобы их сумма составила 0: . Тогда исходная система нормальных уравнений примет вид:

Отсюда параметры можно рассчитать так:

; .

Уравнение тренда используют для экстраполяции и интерполяции данных, подставляя в него будущие или недостающие прошлые показатели времени, придавая им соответствующие условные значения.

Пример

По приведенным ниже данным табл. 5.1. выполните следующее:

1) Изобразите графически динамику ряда с помощью статистической кривой.

2) По данным этого ряда вычислите абсолютные и относительные показатели динамики.

3) Результаты расчетов изложите в табличной форме и проанализируйте их.

4) Рассчитайте средние показатели динамики и проанализируйте их.

5) Произведите сглаживание ряда динамики с помощью аналитического выравнивания по данным 2002-2006 г.г. Полученный тренд нанесите на график, построенный в п. 1). Сделайте выводы о характере тенденции рассмотренного ряда динамики.

6) С помощью уравнения тренда интерполируйте недостающие данные за 1996-1999, 2001 г.г.