Элементы векторного анализа

Векторная функция скалярного аргумента. Если каждому значению скалярного аргумента t поставить в соответствие вектор r (t), то r (t) называется векторной функцией скалярного аргумента. При этом r (t) можно представить в виде r (t)=x(t) i + y(t) j +z(t) r

Векторное поле. Если каждой точке пространства однозначно соответствует некоторый вектор V, то пространство называется векторным полем. Векторное поле можно представить как геометрически, в виде кривых, касательные к которым в каждой точке совпадает с вектором поля V,

так и аналитически V

В случае жидкости рассматривается поле скоростей, а линии называются линиями тока.

Скалярное поле. Если каждой точке пространства соответствует некоторое значение скалярной величины U(x, y, z) – то пространство показывается скалярным полем.

Производная по направлению и её связь с градиентом скалярного поля. Производная от скалярной величины U(x, y, z) по направлению n определяется как

, (1.2)

где n -единичный вектор направления; -направляющие косинусы. Учитывая, что

, (1.3)

производную по направлению можно представить как

. (1.4)

Дифференциал скалярной функции, также можно представить через grad U:

, (1.5)

где .

Ротор скорости илиrot(V). Величина, определяемая соотношением

(1.6)

или

,

называется ротором скорости.

Градиент векторного поля по направлению . Векторное выражение ) V называется градиентом векторного поля. Оно показывает изменение вектора вдоль направления

(1.7)