Интеграл Бернулли

При интегрировании уравнений движения сделаем несколько предположений относительно движущейся жидкости:

- жидкость идеальная;

- движение жидкости установившееся;

- массовые силы потенциальны, то есть справедливо

F = -gradU= - при этом

- жидкость баротропна ⍴ = f (P).

Преобразуем основное уравнение движения идеальной жидкости. Так как движение установившееся, то линии тока совпадают с траекториями движения частиц. Умножим скалярно основное уравнение(1.26) на элемент линии тока d r = V dt

(2.1)

и преобразуем каждое слагаемое

);

-gradU∙ V dt=- ;

Подставляя преобразованные слагаемые в уравнение (2.1), получим

откуда

(2.2)

Дифференциал взят вдоль линии тока, следовательно, Γ _л является постоянной вдоль данной линии тока. При переходе к другим линиям тока Γ _л будет меняться_. Полученное соотношение называется интегралом Бернулли.

В частном случае, если массовыми силами являются силы тяжести, для которых потенциал U=gz, при этом жидкость несжимаемая и , интеграл Бернулли примет вид

(2.3)

или

(2.4)

В полученном виде все слагаемые, входящее в интеграл Бернулли, имеют размерность длины и свою физическую интерпретацию:

z- геометрическая (нивелирная) высота, рассматриваемой жидкости над некоторой горизонтальной плоскостью;

– скоростная высота, на которую поднимется материальная точка, брошенная со скоростью V;

– пьезометрическая высота столба жидкости, создающее у основания давление P.

Согласно интегралу Бернулли (2.4), сумма геометрической, скоростной и пьезометрической высот постоянна вдоль линии тока.

Если пренебречь массовыми силами F=0 и считать жидкость несжимаемой, то интеграл Бернулли приводится к виду

(2.5)

Полученное соотношение основное в гидравлике.

В случае покоящейся жидкости, (V=0) сумма геометрической и пьезометрической высот

(2.6)

постоянна и называется пьезометрическим напором.