Интеграл Коши.

Интегрирование основногоуравнения движения идеальной жидкости возможно и при иных предположениях по сравнению с интегралом Бернулли. К уже существующим предположениям

- жидкость идеальная;

- массовые силы потенциальны;

- жидкость баротропна ⍴ = f (P),

добавим условие безвихревого течения жидкости rotV=0. Добавленное предположение делает течение потенциальным (см. раздел1.10), при этом

; V = grad φ. (2.7)

Преобразуем слагаемые в основном уравнении движения жидкости (1.26)

(2.8)

– поменяли порядок дифференцирования;

- но rot V =0;

F = -gradU. Можно показать, что в случае баротропной жидкости справедливо

.

Подставив преобразованные слагаемые в уравнение (2.8), приходим к соотношению

из которого следует, что выражение, стоящее в скобках, не зависит от координат x, y, z и является лишь функцией времени t.

(2.9)

Полученное соотношение называется интегралом Коши.

Если считать жидкость несжимаемой, а массовые силы являются силами тяжести, то интеграл Коши можно представить в виде

, (2.10)

Добавив к полученному соотношению уравнение неразрывности, которое в случае потенциального течения примет вид

(2.11)

и уравнение состояния

⍴ =⍴ (P) (2.12)

получим замкнутую систему трёх уравнений с тремя неизвестными ⍴, P, φ.

2.3. Интеграл Бернулли – Эйлера.

Если выполнить все условия интегралов Бернулли и Коши - жидкость идеальная, баротропная; - течение жидкости установившееся, безвихревое; - массовые силы потенциальны, то , правая часть интеграла Коши обратится в константу , а сам интеграл примет вид

(2.13)

Полученное соотношение называется интегралом Бернулли – Эйлера. При внешней схожести интегралов Бернулли и Бернулли–Эйлера они существенно отличаются тем, что в интеграле Бернулли константа Г_л постоянна лишь вдоль линии тока, а в интеграле Бернулли –Эйлера константа С сохраняет одно и тоже значение для любой точки течения жидкости. Если считать жидкость тяжёлой (U=gz) и несжимаемой (⍴ =const), тоинтеграл Бернулли – Эйлера упростится

, (2.14)

при этом уравнение неразрывности примет вид уравнения Лапласа

(2.15)

При сделанных предположениях задача исследования течения жидкости сводится к решению системы уравнений

. (2.16)

Уравнение Лапласа , при соответствующих граничных условиях, позволяет определить поле скоростей, зная которое, из интеграла Бернулли – Эйлера можно определить давление в любой точке области течения жидкости.