Комплексная скорость и комплексный потенциал

Зная, что функция тока определяет течение жидкости, можно задавать различные значения Ψ (x, y), удовлетворяющие условиям Эйлера – Даламбера, и далее исследовать полученные течения. Однако, удобней проводить такие исследования в комплексных переменных в плоскости z=x+iy, используя при этом функции φ и Ψ. Соотношения, связывающие эти функции

(3.11)

представляют собой условия Коши – Римана, определяющие существование аналитической функции

(3.12) W(z) называется комплексным потенциалом, а функции φ и Ψ действительной φ =Re(W) и мнимой Ψ =Im(W) частями этого потенциала.

Задание комплексного потенциала W (z) позволяет сформировать не только некое течение в комплексной плоскости, но и определить скорость течения в любой точке этой плоскости. Если ввести в комплексной плоскости понятие скорости V

(3.13)

и комплексной скорости (рис.3.3.)

, (3.14)

то модули этих скоростей совпадают

Используя понятие модуля скорости, значение скорости можно представить в виде

В дальнейшем нам понадобятся некоторые свойства интеграла по произвольному замкнутому контуру L от сопряжённой скорости

.

Откуда

; (3.16)

Im (3.17)

Следовательно, действительная часть интеграла равна циркуляции скорости Г по замкнутому контуру, а мнимая – расходу жидкости Q через этот контур.