Уравнения плоскопараллельного течения идеальной жидкости

Рассмотрим движение жидкости, при котором все её частицы двигаются в плоскостях параллельных какой-то одной заданной плоскости. Совместим эту плоскость с плоскостью oxy декартовой системы координат. Если провести прямую перпендикулярную этой плоскости, то траектория, скорость, ускорение, давление, плотность и массовые силы в каждой точке прямой должны быть одинаковы. Рассматриваемое течение называется плоскопараллельным или просто плоским (рис.3.1).

Рис. 3.1.

Если, согласно определению, все параметры на прямой одинаковы, то достаточно рассмотреть движение жидкости лишь в одной её точке. Совокупность таких точек образуют некую плоскость течения, что позволяетисследовать не объёмное, а плоского течения жидкости. При этом уравнения движения будут иметь вид

(3.1)

,

а уравнение неразрывности

. (3.2)

Уравнение состояния сохраняет свой общий вид ⍴ =⍴ (P).

3.2.Функция тока и её гидродинамический смысл

Рассмотрим плоское, безвихревое течение несжимаемой, идеальной жидкости. В рассматриваемом случае уравнение неразрывности примет вид

, откуда . (3.3)

Последнее соотношение является условием Эйлера – Даламбера о существовании потенциала Ψ, такого, что

. (3.4)

Функция Ψ имеет большой гидродинамический смысл. Подставим в уравнение линии тока значения в результате получим

. (3.5)

,

а полный расход через трубку тока конечного сечения

(3.6)

Следовательно, полный расход через трубку тока равен разности значений функции тока Ψ на линиях тока, ограничивающих трубку тока. Через понятие функции тока можно определить поле скоростей, подставив в условие безвихревого течения

значения
. (3.7)

После преобразований приходим к уравнению Лапласа

. (3.8)

Следовательно, при всех сделанных допущениях о течении жидкости, задача об определении поля скоростей сводится к интегрированию уравнению Лапласа при соответствующих граничных условиях, с дальнейшим определением поля давлений из интеграла Бернулли - Эйлера

. (3.9)

Между функциями φ и Ψ существует геометрическая связь. Если ввести понятие линии эквипонтенциалей, определяемые как φ (x, y)=c, то из соотношения

(3.10)

следует, что линии тока и эквипотенциали ортогональны друг другу.