Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю.

Например:

Решение: чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно. Ответ:

Фундаментальная система решений – это множество линейно независимых векторов , каждый из которых является решением однородной системы, кроме того, решением также является линейная комбинация данных векторов , где – произвольные действительные числа.