Вопрос33.

Непрерывность функции в точке

Пусть y=f(x) – определена в некоторой окрестности в т. х₀ и в самой точке

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если в этой точке существует предел и он = значению функции в этой точке

(1)

Если это равенство не выполняется, то говорят, что ф-я имеет разрыв в т х₀

1.Пример

f(x)=х₂

х=2

f(2)=4

Исходная функция непрерывна

2. Пример

f(х)= х², х=2

1, х=2

f(2)=1

, то f(x) имеет разрыв

Преобразуем равенство1

т.к. предел постоянной = самой постоянной

- приращение аргумента

- приращение функции

(2)
Из равенства 1 следует равенство 2, 1 и 2 равносильны

Определение. Функция f(x) непрерывная в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соотв. бесконечно малое приращение функции., т.е. выполняется равенство 2.

f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x)

Функция называется непрерывной в т х₀, если в этой точке существует левый и правый пределы и = между собой и = значению функции в этой точке (выполняется неравенство 3)