Свойства бесконечно малых последовательностей (доказательство)

Теорема 1: сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Доказательство: ( ) (альфа) ( ) – б.м.

Доказать, что ( + ) – б.м., т.е. по определению для любого числа E> 0, существует N

Выполн. нер-во l + l< E

Берём произвольное число Е> 0. Последовательность () бесконечно малая, т.е. для любого > 0 существует такое число N с индексом 1, что для любых n> N выполняется l l< (1),

т.к. () –б.м., то для любого числа > 0 существует такое число N с индексом 2, что для любых n> выполняется l l < (2).

Обозначим через N = max { : }, тогда для любых n> N неравенство (1) и (2) выполняются одновременно.

Воспользуемся свойством | x+y| < = (меньше либо равно) |x| +|y|, тогда | + |< = (меньше либо равно))| | +| | < +

Таким образом неравенство | + | < E, которое выполняется для всех n> N, это значит ( + ) – б.м.

Определение: последовательность ( называется ограниченной если существует такое число М, что для любых n выполняется неравенство | < = (меньше либо равно) M.

Теорема 2: произведение б.м. на ограниченную есть последовательность бесконечно малых.

Следствие 1: произведение б.м. на постоянное число есть последовательность б.м.

Следствие 2: произведение двух б.м. последовательностей есть последовательность б.м.

( * )- б.м.

Следствие справедливо, т.к. б.м. последовательность есть последовательность ограничеснная.

Вопрос

Замечательные пределы

Определение -Предел отношения
. называется первым замечательным пределом.

Вопрос