![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
N . IV 1 .\1 IV I .
Х*у ХМ ХУх 7 = 1 7=' ■ •-'
/V (8.4а) 2. Пусть Су— класс полиномов второй степени (парабол), то есть ищется параболическая регрессия у на х: у —.Доь а2, а3; х) — а\ + а2х + а$к2. (8.5) В этом случае система нормальных уравнений для определения параметров щ, а2, а^ будет иметь вид N. N, л2 N. а^+а21х-> +а321[х^ = ХУ;
7 = 1 Лз «1 X ^+«2 X И +«3 X К = X (у'хЛ N, л2 N I лз N,.и N,. л2 «1 X (*У) +«2 X (*') +«3 X (*У) = X (> ^) 7 = 1 (8.6) 3. Если С/— класс гипербол, ищется гиперболическая регрессия у на х. у=/(а1, а2; х)=а1 + а2 (8.7) Тогда система нормальных уравнений имеет вид
N \ N. я1^+я2хЛ=5> у; 7 =
* 1 «1 Х-7+Я2 X
Quot; И Л ^Л; (8.8) Аналогично составляются системы нормальных уравнений в случае большего числа производственных факторов. Например, для случая трех факторов при необходимости построения линейных регрессий вида После решения системы нормальных уравнений и подстановки полученных значений параметров в общее выражение, связывающее результативный показатель с факторами, получают конкретное уравнение, которое и принимается в качестве искомого представления производственной функции. Для иллюстрации определим в соответствии с рассмотренным методом линейное представление зависимости урожайности озимой пшеницы от балльной оценки качества земли по данным таблицы 13. Расчет сумм, входящих в систему нормальных уравнений (8.4), показан в таблице! 4. 14. Расчет коэффициентов системы нормальных уравнений (линейная регрессия, задача 8.1)
1 30 23, 5 900 705, 0 23, 01 2 35 23, 7 1225 829, 5 25, 55 3 35 24, 0 1225 840, 0 25, 55 4 38 26, 7 1444 1014, 6 27, 08 5 29 24, 3 841 704, 7 22, 50 6 40 28, 8 1600 1152, 0 28, 09 7 45 33, 5 2025 1507, 5 30, 63 8 37 27, 6 1369 1021, 2 26, 57 9 35 23, 0 1225 805, 0 25, 55 10 40 29, 4 1600 1176, 0 28, 09 11 50 30, 5 2500 1525, 0 33, 18 12 52 35, 0 2704 1820, 0 34, 19 I 466 330, 0 18658 13100, 5 330, 0 У =А< *о, аи а2, аъ; х) =< я0 + аххх + а2х2 + а3х3 (8.9) система нормальных уравнений имеет вид N. N. N. N. Gt; / 5> 2У 2> з 2У 7 = 1 7=1 7=1 7=1 N л N 3 N N й0 ——•+«{ ——------- -+а2— ------------- +«з }~ ~; ~ N 1 N N N - N N. N,. л N, Л2 N, / л N,. л М X */** X х2; I х2^ X у^ 7=1 7=1 7=1 7=1 7=1 оп------ +й| ------------ +о? ---------- +а-> -------------- =--------------; и N 1 N г N 3 N N N. N,. л N,. л N, л2 N,. л 14 ^(х{хЛ 1^ ХЙ ъ(уЧ) 7 = 1 7 = 1 ' / = Г ' у'=Г 7 у = Г 7 ап- ----- +а\- ----------- +ат------------ +а-> ------------- =-------------. 0 N ' N 2 N 3 N N Таким образом, система нормальных уравнений (8.4) для рассматриваемой задачи будет иметь вид 12а1 + 466о2 = 330, 0; 466а, + 18658а2= 13100, 5. Для решения разделим каждое уравнение на коэффициент при а{. Получим ^ + 38, 833^ = 27, 500; ах + 40, 039о2 = 28, 113. Вычтем из второго уравнения первое: 1, 206а2 = 0, 613, откуда а2 = 0, 508. Подставив значение а2 в любое из уравнений, найдем а, = 27, 5-38, 833-0, 508 = 7, 77. Таким образом, линейное представление зависимости урожайности пшеницы от оценки качества земли имеет вид у=/(х)=7, 77+0, 508х. Графическое представление этой зависимости и было дано на рисунке 5. Численные значения урожайности у, рассчитанные по полученной формуле, представлены в последнем столбце таблицы 14. Аналогичные расчеты можно провести, если представление рассматриваемой зависимости искать не в классе линейных функций, а, например, в классе полиномов второй степени (парабол). В этом случае необходимо исходить из регрессии вида (8.5) и соответственно системы нормальных уравнений вида (8.6). Необходимые промежуточные вычисления представлены в таблице 15. 15. Расчет коэффициентов системы нормальных уравнений (параболическая регрессия, задача 8.1)
С учетом результатов, рассчитанных в последней строке таблицы! 5, система нормальных уравнений (8.6) приобретает вид 12й, + 466а2 + 18658д3 = 330, 0; 466ах + 18658а2 + 707272а3 =13100, 5; 18658л, + 770272д2 + 32760694д3 + 536380, 5. Решая эту систему по аналогичной схеме1, получим значения коэффициентов аъ а2, а3 и соответствующую сглаженную зависимость урожайности пшеницы от качества земли: у=/(х)=10, 3+0, 38х+0, 001бх2. Сравнение двух представлений (последние столбцы табл. 14 и 15) наглядно демонстрирует тот факт, что в условиях рассматриваемой выборки линейное и параболическое представления практически неразличимы, и если выбор осуществлять лишь между этими двумя, достаточно ограничиться линейным. Задача 8.2. Найти зависимость потерь времени смены на холостые повороты и заезды комбайна СК-6 «Колос» при прямом комбайнировании на уборке зерновых колосовых (у, %) от длины гона (дг, км) по исходным данным, представленным в таблице 16. При построении регрессии полагать, что искомая зависимость является гиперболической: У=а\+ —•
|