![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Логч,гч,оо\ао'о(-~оо'Г1г^.-н00гч00 о.
1ПГ^-^51Г? 1поогмг--т)-чогч> ^й; осоосл^гп; -* 35 - а -г * ^ й - ^ *■ = ™ ^ ■ * -1 § 0° ^ ^ 3 ^
оо__^т|-чог~-1Г1гпо\ет_1-оо^-1лгг.'*чооо? < ~-5йчпч0ОЧ-Огп< -122чпм°^^ч0?? < =>, ^00чо „г^г-п^Гч1_^Сч(гч1_чоог-чо___-о> гч|Гч; гп-^
О—'С-4г*-)-> 3-тчОГ--ООСЛО записать так: о0 +21, 060! +9, 09а2+25, 4а3 = 15, 85; 21, 06а0+507Д8а1+183, 01а2 +556, 88а3 =336, 63; 9, 0900 + 183, 010! +102, 82о2 +226, 1 1аъ =159, 05; 25, 4о0+556, 88^ +226Д7а2 +818, 18а3 =418, 64. (8.11) Решение ее проведем по простейшей схеме метода исключений Гаусса. Вся последовательность вычислений дана в стандартной таблице; она разбивается на несколько прямых и обратных ходов метода Гаусса, а прямой ход, в свою очередь, разбивается на несколько разделов — по количеству неизвестных. В каждом разделе прямого хода, начиная со второго, происходит исключение одной переменной и соответственно одного уравнения. Кроме того, по ходу вычислений определяют несколько вспомогательных величин, позволяющих контролировать правильность расчетов (Сборник задач по методам вычислений/Под ред. П. И. Монастырского. — М.: Физматлит, 1994. — С. 27—31).
Прямой ход метода Гаусса II ИГ IV V 1, 00 21, 06 9, 09 25, 40 1, 00 а0
25, 40 556, 88 226, 17 818, 81 25, 40 21, 96 -4, 72 173, 65 0, 34 -1, 81 166, 08 -0, 09 165, 91 Обратный ход метода Гаусса а. «1 15, 85 336, 63 159, 05 418, 64 15, 85 2, 83 14, 97 16, 05 0, 04 15, 35 15, 07 0, 80 16, 53 0, 10 0, 81 0, 12 3, 44 72, 40 1604, 76 680, 14 2045, 90 72, 40 80, 02 22, 02 206, 94 1, 26 32, 61 179, 34 1, 71 182, 44 72, 40 80, 02 22, 02 206, 94 1, 26 32, 61 179, 34 1, 71 182, 44 Рассмотрим структуру таблицы (см. табл. 20). Структура первых 4 строк I раздела: 1-й столбец — номер раздела; 2-й — номер уравнения; 3—6-й столбцы — коэффициенты при неизвестных системы (8.11), обозначаемые символами Кц, г, /= 1,..., 4; 7-й —правые части уравнений (обозначим их Кц); 8-й столбец — сумма К& = ^Ку; 9-й столбец в первом разделе не за- 7=1 полняется. 5-я строка I раздела (заполняется начиная с 3-го столбца): 3— ' 5 ^ 8-й столбцы — числа 2?,, -= Ку/Кп, } = 1,..., 6; 9-й — 517 = 1+ ЪВу Проверка: числа В16м В17 должны совпадать с точностью до единицы последнего разряда при условии, что расчеты ведутся при фиксированном числе знаков после запятой. Первые 3 строки II раздела содержат коэффициенты преобразованной системы уравнений: из первого уравнения неизвестная а0 выражается через другие неизвестные и подставляется в другие уравнения. Соответственно новые значения коэффициентов определяются по формулам (верхний индекс — номер раздела) К®=К& -КпВц, 1 = 2, 3, 4,; = 2,..., 6; К$=ЪК®, / = 2, 3, 4. 7 = 2 Проверка: с указанной выше точностью должно выполняться равенство К^'=Ку- Элементы последней строки раздела II:
1+ 1Ви 7 = 2 Проверка осуществляется так же, как в разделе I. Следующие (III и IV) разделы таблицы заполняются по аналогичной схеме. Обратный ход метода Гаусса осуществляется следующим образом. Вносим в раздел V обозначения переменных (см. табл. 20); значения переменных заносим в 7-й столбец, рассчитывая их по следующим формулам: ах=В®-В®аъ-В®а1\ аь=В®-В§аъ-в! §а2-В§ах. Согласно полученным результатам уравнение регрессии для рассматриваемой задачи будет иметь вид ^=3, 44+0, 126х, + 0, 8 \х2 +0, 1х3. 148
На рисунке 7 полученная аналитическая зависимость иллюстрируется графически. Относительно рассмотренной схемы решения задачи необходимо сделать ряд оговорок. Дело в том, что для эффективной работы использованной здесь простейшей разновидности метода Гаусса необходимо выполнение двух условий:
на каждом этапе (разделе) прямого хода метода первый коэффициент первой строки не должен быть пулевым; все коэффициенты не должны сильно различаться по абсолютной величине. При нарушении первого условия схема вообще неприменима, а при нарушении второго ошибки округления могут стать неприемлемо большими. Обойти указанные трудности можно, применив метод Гаусса с выбором главного элемента. Суть его заключается в том, что на каждом этапе расчета (в каждом разделе таблицы) отыскивают наибольший по модулю коэффициент (называемый главным или ведущим), а переменные и уравнения переставляют так, чтобы указанный коэффициент был первым в первой строке данного раздела. В остальном все операции подобны рассмотренным выше. При решении задачи 8.3 применение такого метода не оправдано, так как ошибки округления и без того малы, а выделение главного элемента требует выполнения большого числа трудоемких комбинаторных операций. Однако в общем случае при разработке программного обеспечения экономико-статистических моделей требуется применение сложных модификаций метода Гаусса. Именно с использованием таких модификаций реализован разработанный в ГУЗ программный комплекс, предназначенный для расчета параметров производственных функций. В заключение отметим, что при решении практических задач расчеты следует проводить на компьютере с использованием современного программного обеспечения (в частности, упомянутого программного комплекса, разработанного в ГУЗ). Вместе с тем при освоении материала данной главы полезно несколько задач просчитать вручную. При этом, естественно, можно воспользоваться вспомогательными программными средствами, например редактором электронных таблиц Мкго$о/1 Ехсе1. Именно с помощью такого редактора были подготовлены таблицы 19 и 20. 8.4. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ Приведенные выше примеры определения средней квадратичес-кой регрессии у на (хь..., хк), иначе говоря сглаженного представления зависимости результата производства у от производственных факторов Х[,..., хк, достаточно наглядно иллюстрируют тот факт, что процесс расчета неизвестных параметров аи..., ам сглаживающей функции из заданного класса существенно упрощается, если система нормальных уравнений в дифференциальной форме (8.2) сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Те же примеры показывают, что в некоторых случаях параметры аи..., ам входят в искомую функцию линейно. Зачастую путем соответствующей замены переменной у и параметров аи..., ам эта функция может быть преобразована к форме, в которую неизвестные параметры либо их функции вида д^),..., ®^^ входят линейно. Очевидно, что в таких случаях дифференциальные уравнения автоматически преобразуются в линейные алгебраические уравнения. Как только указанное преобразование проведено, дальнейшая процедура определения параметров аи..., ам, а точнее Ъи..., Ъм, может быть жестко алгоритмизирована на основе стандартных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, что существенно упрощает разработку программного обеспечения для решения задач, связанных с использованием производственных функций. Таким образом, целесообразно исходить из общего представления линейной модели регрессии в виде ^=*1Ч»1(А) + Ьт{Х) + - + ЪаА> м(Х), (8-12) где # =§(у) — взаимно однозначное преобразование результативного показателя (замена переменной у на §); Х= (хь..., х^) — вектор факторов производственной функции; ф1(А),..., фдДА) — известные функции вектора X; в, -(а(), / = \,..., М— взаимно однозначное преобразование параметра а, - (замена параметра а, - на д,). Подчеркнем, что на вид функций ф1(Х),..., фЛХЛ) не накладывается никаких ограничений, кроме независимости от параметров аи...ами однозначности в рассматриваемой области значений X. Важна только линейность зависимости # от Ьь..., Ьм- Рассмотрим интерпретацию функций ф1(А),..., фА< (А) и параметров -& 1,..., ЪМ из уравнения (8.12) для некоторых конкретных примеров. 1. Пусть задана функция Кобба-Дугласа: у=/(ао, аьа2, ау, хих2, х^а^х^ху'. Тогда после логарифмирования и соответствующей замены переменной у и параметров а0, аь а2, а3, получим следующую линейную модель регрессии: 8= в1Ф1(А) + Ь2ц> 2(Х) + дзФзО) + Ъ4щ(Х), где$=1ёу; & { =/§а0; ^2 = 0\', в3 = а2; в4 = аз; < Р\ = 1; < Р2 = 'ё*ь Фз = |ёл2, ' Ф4 = 'ё*з- 2. Пусть задана кинетическая зависимость: к у=/(о0, аь..., ал: , /1,..., /А: ; хь...)х^)=о0П^а'ехР(--//х/)- Логарифмируя эту зависимость, получим следующую линейную модель регрессии: 2=Ъ1< р1(Х) + Ъ2(р2(Х)+...+ -& мсрм(Х) при М=2К+1, где #=1пу; в, = 1п о0; в2 = а{;... Ь1 + К=ак; а1 + л-+, = -/,;... *ц-2л; = -^ Ф1 = 1; Ф2 = 1пл; 1;...ф1 + лг=1пхлг; ф, +лг+1 = х,;... фц-глг = **• 3. Пусть для представления производственной функции ис > > =А< г0, аи..., ак, Ъи..., Ьк, си2, -, Ск-ъ к, х\, -, хк) = = о0+ X а]Ьа]х}+ 2 а]8/}х]+ X с1]Ц]х1х], где 8°, 8у, 8, ■ —заданные параметры, причем каждый данный параметр равен О, если по физическим, биологическим, экономическим и т.д. соображениям соот-метствующий компонент не может входить в приведенное выражение (пусть, например, «по физике» результативный показатель у не должен зависеть от произведения х, х4, тогда 8^4=0, в противном случае 8^4=1). Для этого примера линейная модель регрессии будет иметь вид М О 1 8= 2> тФ„, (*)при М = 1+±К+±К^МЬ = 0, где Л/5=0 — общее число символов типа 8у, 8у, 8^-, равных нулю. В случае, когда все величины 8у, 8у, 8^у равны 1, получим 2 = У, Ъ\ = ао; т^2 = ^ь - #1+ *=«*; ®\ + к+\==Ьй - Ъ\ + гк=Ък; ^и-г/г+^с^г; ••• ®м= сК-\, к, Ф1 = 1; Ф2 = *ь ••• 4> 1 + к = хк, 2 2 _ _ Ф1+/Г + 1=хр---; Ф1 + 2АГ=х^; Ч> 1 + 2К+{~Х1Х2> ■ ■ ■ ФЛ/~ ХК- \ХК- Если некоторые из величин 5°, 6*, 5/у равны нулю, то соответствующие коэффициенты Ьт и функции фт должны быть исключены из приведенного списка. Рассмотрим теперь принцип наименьших квадратов для случая линейной модели регрессии. Пусть имеется N наблюдений за результатом производства у и производственными факторами х{,..., хк. Тогда выражение (8.1), формализующее принцип наименьших квадратов, примет следующий вид:
Л/ т = 1 где & 1=^у1), У= 1,..., ^— преобразованный результат наблюдений; ЛТ-Ь =(^,.., 4). Соответственно система нормальных уравнений в матричной форме будет иметь вид ф7" *ф*0 = ф'* о, (8.13) где 0= (? ',..., я")г— вектор-столбец преобразованных результатов наблюдений; 0 = (в1,..., дЛ/)г — вектор-столбец оцениваемых параметров модели; Ф = ||ф/Л, Ф> 1 = Фт(Л'-0, 7 = 1, --, Лг, т = 1,..., Л/; Фт— транспонированная по отношению к Ф матрица. Решение уравнения (8.13) в матричной форме имеет вид в = (Фг*Ф)-1*Фг* С. После решения уравнения (8.13) значения первоначальных параметров аъ..., ам производственной функции из выбранного класса восстанавливаются из соотношений г}, (а,), /,..., М (см. приведенные выше примеры). 8.5. ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ РЕГРЕССИИ Разумеется, решение уравнения (8.13) в реальных задачах должно проводиться на ЭВМ, желательно с использованием мощных профессиональных пакетов программ. В то же время последовательное применение моделей регрессии вида (8.12) позволяет сделать более наглядным алгоритм получения системы нормальных уравнений и в простых случаях (как правило, рассматриваемых в учебном процессе). В частности, удается обойти этап непосредственного вычисления производных производственных функций (см. систему 8.2). Проиллюстрируем это на примере однофакторной зависимое - ти параболического вида у =Я%, аъ а2; х) = а0 + а\х + а2х2. Очевидно, что в этом случае Ф1(х) = 1; ФгОО = х; ф3(х) = х2. Пусть имеется N наблюдений за результатом производства и единственным производственным фактором: ух,..., ум, хх,..., хм; тогда введенные выше объекты будут иметь следующий вид. Векторы-столбцы результатов производства и оцениваемых параметров:
С=(^..., ^=(у\..., УУ; е = (0ь «2> вз)г=(«ъ «ь «2)Г; матрица Ф: Ф=1кт||=|фт(^ Подставляя полученные выражения в матричное уравнение (8.13), получим 1 1
Л\2 ми-кг 1х 1И2 2 (х2)2
1 1 •
|