Формулы для расчета экономических характеристик некоторых однофакторных производственных функций

Тип производственной функции

Линейная Степенная Гиперболическая

Параболическая Кинетическая Асимптотического роста

Дополнительный продукт

(предельная

производительность)

[см. формулу (10.1)]

у = а₀+ а_{х У = яох" '

а_йа_хх '

-3. х²

«! + 2а₂х

у = а₀+ а\Х+ а₂х²

(-Ях) о₀л-^й|ехр(-У*) М--/

у =аф- 10~

Средняя производительность [см. формулу (10.3)[

а, +— х

31 + 3. х х²

—+а\+а₂х о₀х°¹" 'ехр(-Л)

_тп-*х

А0-О| ■ 10

Коэффициент эластичности [см. формулу (10.4)[

0|Х О0+й|Х

Я| й()Х + 0|

х[а\ + 2а₂х) й(! + а^х + а2Х

0| — 1х

афх

о₀10*^л'-а,

Формулы для расчета предельных норм заменяемости для некоторых двухфакторных производственных функций

Тип производственной функции

Вид уравнения

Предельная норма заменяемости фактора х₂ на фактор л-, Я _д. (х\, х₂) [см. формулу (10.7)]

Линейная Кобба-Дугласа

Кинетическая Асимптотического роста

у = а₀ + й|Х| + а₂х₂

у = _%х? хр

у=а₀х" ^[х₂² ыр[-^^x^ -^^г) у = 00-^10-^-^2

«I _а₂х₁

щх₂

х\{аг-Нхг)

х₂(а₁-^х₁)

К

ра имеют характер ресурсов¹. В этой ситуации характер изоквант будет таким, как у изоквант, показанных на рисунке 11, а («убывающие» линии в плоскости х, -, х,).

В противном случае (дополнительные продукты Д и В) имеют разные знаки) предельная норма заменяемости положительна, и, следовательно, для сохранения заданного уровня у рост одного фактора должен сопровождаться ростом другого. Если оба фак­тора являются ресурсами, то положительная норма заменяемости может свидетельствовать либо о грубых нарушениях в организа­ции производства, либо об ошибках в построении производ­ственной функции, например вследствие неверной статистичес­кой обработки выборки при построении уравнения регрессии (на это утверждение также распространяется отмеченное выше ис­ключение). Если же один из факторов — ресурс, а другой количе­ственно характеризует некоторый негативный эффект, например эродированность пашни, то положительная норма заменяемости свидетельствует о «правильном характере» производственной функции. В этом случае увеличение негативного эффекта и дол­жно компенсироваться ростом затрачиваемых ресурсов. Харак­тер изоквант при этом будет таким, как у показанных на рисунке 11, 5 («возрастающие» линии в плоскости х_ь х,).

Помимо изоквант в практике экономического анализа ис­пользуют другие линии — изоклинали. Последние имеет опреде­ленный смысл только в том случае, если предельная норма заме­няемости является переменной величиной. В плоскости (х_у, х,) изоклиналь определяется уравнением

Н_{Х! < Х]}{х\,..., х_к)=соп$1 (10.9)

при фиксированных х_т, т * /, /

Таким образом, изоклиналь — это геометрическое место точек в плоскости (х, -, х_у), в пределах которого норма заменяемости факторов х_; и X; постоянна. Меняя константу в уравнении (10.9), можно получить набор изоклиналей.

В заключение (табл. 26—27) приведем расчетные формулы для экономических характеристик производственных функций ос­новных типов. Примеры построения изоквант и изоклиналей приведены в следующем подразделе.

¹ Исключение могут составлять случаи, когда определенный ресурс связан с ка­питальными вложениями, а результирующий показатель оценивается в пределах относительно короткого временного интервала (особенно на начальном отрезке периода окупаемости вложений).