Приложение к главе 9

Р-процентное значение 1_р нормально распределенной величины ( (Р= 100/», где р — доверительная вероятность).

Для нормально распределенной со стандартным отклонением 1 случайной величины /значение (_р удовлетворяет условию «|/| не превосходит 1_р с вероятностью р» и является решением уравнения Ф(/) = р, где Ф(/) — интеграл вероятности.

Р-процентное значение /рЛ, величины /, распределенной по закону Стьюдента с V степенями свободы.

Для случайной величины /, распределенной по закону Стью­дента с V степенями свободы, значение 1_р, _ч удовлетворяет усло­вию «Ц не превосходит 1_{р< у} с вероятностью р» и является решени-

Р, \!

ем уравнения 2 \з^х)с1х=р, где 5_у(х) — плотность вероятности для распределения Стьюдепта.

1„ при различных значениях;?

р=0, 8

р = 0, <

р = 0, 95

р = 0, 9&

р = 0, 99 р = 0, 999

Прдолжение

1_Р при различных значениях р

Г л а в а 10

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ

10.1. ОСНОВНЫЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Производственные функции как результат обобщения опыта, прямых наблюдений и экспериментов в землеустроительной практике служат концентрированным источником исходной ин­формации; можно выделить три основных класса задач, в кото­рых целесообразно их использовать:

задачи прогнозирования¹, в которых граничные условия либо во­обще не задаются в явном виде, либо играют чисто номинальную роль (определяют область допустимых значений аргументов фун­кции регрессии);

оптимизационные задачи, в которых эти условия играют актив­ную роль факторов, формирующих облик оптимального решения;

задачи экономического анализа состояния и использования зе­мель, изучения других процессов, существенных для землеуст­ройства.

На первый взгляд к самостоятельному классу относятся опти­мизационные задачи, в которых оптимальное решение находится в виде экстремума производственной функции внутри области допустимых значений аргументов х_и..., х_к, однако в действитель­ности в сложных задачах факт нахождения экстремума внутри области допустимых значений устанавливается после его отыска­ния, и, следовательно, такие задачи — частный случай задач вто­рого из названных классов.

¹ Независимо от того, где они возникают: при разработке проектных решений, при средне- и долгосрочном планировании или собственно прогнозировании на длительную перспективу.

В приводимых ниже определениях предполагается заданной функциональная зависимость результатов производства от ряда факторов у = у(х_и..., х_к), причем эта функция имеет первые про­изводные по всем аргументам. Рассматриваемые характеристики имеют по преимуществу экономический смысл, и соответствен­но основная область их применения — анализ влияния различ­ных факторов на эффективность производства. На микроэконо­мическом уровне в качестве анализируемого результата произ­водства могут выступать как обобщенные экономические показа­тели (валовой продукт, чистый доход и т. п.), так и частные (урожайность конкретной культуры, стоимость продукции расте­ниеводства и т.д.). Далее в данном разделе величина у, как пра­вило, называется показателем эффективности производства или просто показателем эффективности.

Дополнительный продукт фактора х (или иначе предельная про­изводительность) определяется частной производной:

П дУ

°^{1 =} дх-> < ^10Л)

причем все остальные факторы считаются постоянными.

По самому смыслу производной Д она характеризует скорость (темп) изменения показателя эффективности «в данной точке» при изменении /-го фактора и заданных значениях других произ­водственных факторов¹. Приближенно Д равна приросту Ду про­дукции за счет увеличения /-го фактора на единицу (Ах, = 1).

Если известен дополнительный продукт /-го фактора, то при малых приращениях Ах, - новое значение показателя эффективно­сти может быть оценено по формуле

у(х/ + Ах,) = у(х,) + ДДх, -. (10.2)

Эта формула «предсказывает» линейное изменение показате­ля эффективности при изменении данного фактора, что в общем случае верно лишь при небольших значениях Ах, -. Исключение составляет случай линейной зависимости показателя эффектив­ности от фактора х,. Например, если однофакторная производ­ственная функция линейна: у =а₀ + а_{х, то формула (10.2), с уче­том того что

л ду справедлива при любых значениях Ах, -. В других случаях оценка

¹ По этой причине дополнительный продукт фактора относят к так называе­мым точечным оценкам.

изменения у по формуле (10.2) при больших значениях Ах, - может приводить к неприемлемо большим погрешностям.

Если известно, что рассматриваемый показатель эффективно­сти у достигает максимума внутри области допустимых значений производственных факторов х_ъ..., х_к, то максимальное значение у и соответствующие ему оптимальные значения фактора могут быть определены путем решения системы уравнений:

А(*1.-.*лг)=0 '

В_к(х_ь..., х_к)=0

где зависимости предельных продуктов от производственных факторов определяются по формуле (10.1) при заданной зависи­мости у(х_и..., х_к).

Средняя производительность

Д-=^7 (Ю-3)

отражает средний темп изменения показателя эффективности при увеличении /-го фактора в диапазоне от нуля до заданного значения х, -.

Если под у понимать не показатель эффективности производ­ства, а производственные затраты на выпуск продукции, то рас­сматриваемое отношение 77, - следует интерпретировать как себе­стоимость единицы продукции.

Если у(х) — линейная функция, у = а₀ + а_{х, в которой величи­на а₀ интерпретируется как постоянная составляющая затрат, а коэффициент регрессии а_х — как текущий расход на единицу продукции, то себестоимость единицы продукции, рассчитанная по формуле (10.3), будет убывать с ростом производства за счет уменьшения доли постоянных расходов а₀ по сравнению с пере­менной составляющей а_хх.

Коэффициент эластичности

Е> =

'$уу Эх. У

(10.4)

характеризует относительное изменение результата производства на единицу относительного изменения /-го производственного фактора. Численно он равен отношению дополнительного про­дукта данного фактора (предельной производительности) к сред­ней производительности:

у)

дх^

К^Х1

ду_ Эх, -

Ч)

Приближенно коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результат производства при изме­нении /-го фактора на 1 % при неизменной величине других фак­торов.

Предельная норма заменяемости может рассчитываться, когда число факторов более единицы. Здесь необходимо ввести новое понятие — изокванты производственной функции. В общем слу­чае она определяется как поверхность в А'-мерном пространстве производственных факторов х_х,..., х_к, на которой показатель эф­фективности производства постоянен; таким образом, уравнение изокванты имеет вид

у(х_и..., Х_к) = СОП51.

(10.5)

Если число факторов равно двум (или когда при К> 2 анали­зируются только два фактора /, /), то геометрически изокванта может быть изображена как линия на плоскости (х_ь х_у). Задавая различные значения константы в уравнении (10.5), можно полу­чить набор изоквант.

Рассмотрим ситуацию, когда все факторы, за исключением двух указанных, фиксированы. В этом случае дифференциал (приращение) у определяется соотношением

йу=~-йх₁+—^—йх:. Эх, - Эху

На изокванте (у - сопз1) приращение йу, по определению, должно быть равно нулю; следовательно,

йу =-^- их; + —— их 1 = 0. Эх, - дx^ '

Преобразовывая это равенство, получим

^1=Н_х._х.{х_ь..., х_к)йх_], (Ю.6)

где

^Нх,, хМ-" ^хк)=-

Ду_

Эх, -

Б

Щ

(10.7)

Величина Н_х._х.(х_{,..., х^) называется предельной нормой заме­няемости фактора X] фактором х, -. Смысл этого названия раскры­вается следующей приближенной экономической интерпретаци­ей соотношения (10.6):

для сохранения заданного уровня производства у = сопз! в случае изменения фактора х₁- на единицу (Л, - = 1) изменение фак­тора х, - должно быть равно предельной норме заменяемости

Из (10.6) следует, что для любой пары факторов норма заме­няемости фактора х_] фактором х, - связана с нормой заменяемости фактора х, - фактором х^ соотношением

Н_Х1, _Х]{х1,..., х_ку\/Н_х._х.(х_ъ..., х_к). (Ю.8)

Если связь обоих факторов с результатом такова, что их из­менение действует на у в одном направлении (например, рост как х, -, так и х^ либо увеличивает, либо уменьшает у), иначе гово­ря, дополнительные продукты по обоим факторам имеют оди­наковый знак, норма заменяемости будет отрицательной. Это значит, что для сохранения постоянного уровня у уменьшение одного фактора должно компенсироваться ростом другого фак­тора и обратно — при увеличении одного фактора допустимо уменьшение другого. Это «естественное» поведение зависимос­тей при правильной организации производства, если оба факто-

Рис. П. Изокванты:

а — убывающие: б — возрастающие