Билет 28.

28. Способы обнаружения гетероскедастичности остатков регрессии. Какие критерии могут быть использованы для проверки гипотезы о гомоскедастичности регрессионных остатков?

Гетероскедастичностью (ГТС) остатков называется нарушение предпосылки МНК о постоянстве дисперсий случайных отклонений.

Не существует универсального метода обнаружения ГТС. Наиболее классические методы обнаружения ГТС:

1. Визуальный анализ графика остатков. Остатки должны в случае гомоскедастичности случайно колебаться относительно нуля в полосе приблизительно одинаковой ширины. Если наблюдаются изменения амплитуды колебаний остатков в определенной закономерности, то весьма вероятна ГТС. Метод является надежным лишь в случае парной регрессии.

2. Тест Спирмена. Предположение: дисперсия остатков либо увеличивается, либо уменьшается с увеличением значения одного из факторов, поэтому модуль остатков и значение фактора будут коррелировать. Здесь модуль остатков считается приближенной оценкой дисперсии остатков. Предварительно значения фактора и модуля остатков ранжируются либо по убыванию, либо по возрастанию. Затем определяется коэффициент ранговой корреляции Спирмена между двумя этими рядами.

1) r_{x, |e|} = 1 – 6 * (∑ d_i² / n*(n²-1))

2) H₀ : r_{x, |e|} = 0 (гомоскедастичность)

H₁ : r_{x, |e|} ≠ 0 (ГТС)

3)

4) |t| > t_табл (α; n-2) → Н₀ отклоняется, ГТС имеет место

В случае множественной регрессии целесообразно проверку проводить по каждому фактору отдельно.

3. Тест Голдфелда-Квандта. Предположение: остаточная дисперсия пропорциональна значению квадрата одного из факторов.

σ _i² = σ ²x²_ji, i=1, n

Основные этапы:

1) Все наблюдения ранжируются по переменной х;

2) Выделение трех подвыборок размерностью k, n-2k, k.

3) Построение регрессии для 1 и 3 подвыборки;

4) Вычисляется СКО построенных регрессий S₁ и S₃;

5) Формируется Н₀ о постоянстве дисперсии остатков: σ ₁² = σ ₂² = … = σ _n²;

6) Проверка по F-тесту

7) Принятие решений. Если F_набл > F_кр = F_табл(α; k-p-1; k-p-1) → ГТС.

СКО значимо различна на начальных и конечных участках выборки. В случае множественной регрессии эту проверку целесообразно провести для каждого фактора в отдельности.

4. Тест Глейзера. Предположение: дисперсия остатков является некоторой функцией от значений факторов.

|e_i| = α + β x_i^k + v_i, i=1, n

Обычно степень факторов k меняют в определенных пределах шагом 0, 5 и строят ряд регрессий. Если хотя бы одна регрессия оказывается значимой, то ГТС. Если все значимы - то однозначно сказать нельзя. Если значимыми оказались несколько регрессий, то для коррекции ГТС выбираем лучшую из них по max R².