Способы устранения гетероскедастичности остатков регрессии. Метод взвешенных наименьших квадратов.

В случае обнаружения ГТС необходимы определенные меры по ее коррекции с целью снижения ее негативных последствий. Коррекция сводится к определенным преобразованиям модели с целью получения более эффективных оценок коэффициентов. Вид преобразования зависит от того, известна или неизвестна дисперсия случайных возмущений. При известности дисперсии возмущений для каждого наблюдения используется взвешенный метод МНК, частным случаем яв-ся обощенный метод МНК.

Обобщенный МНК применяется для получения эффективных оценок в случае нарушения предпосылок МНК о ГТС и некоррелированности остатков. В этом случае матрица ковариаций случайных возмущений есть положит.определенная матрица. Оценки по обобщающ МНК по форме: b=(X^t*p^(-1)*x)^(-1)*x^t*p^(-1)*y. P-матрица новых случайных возмущений. В случае нарушения лишь предпосылки о гомоскед. остатков матрица ковариации является диагональной.

При применении взвешен.МНК каждый квадрат остатка взвешивается с помощью коэф-та: 1/ Ϭ (ε _i). Этим добиваются равномерного вклада остатков в остаточную сумму, что приводит к получению несмещенных и наиболее эффективных оценок коэффициентов модели. При этом всегда минимизируется функциональная ²_{i, где} ε _i-соответстующее возмущение.

1. Дисперсия известна - практически не встречается.

1) y=a+b*x+ε _i, ε -гетероскедастична. Реализация взвешенного МНК заключается в делении обоих частей урав.регрессии на известные СКО случайных возмущений. Далее заменой переменных получаем преобразованную модель (двухфакторную без свободного члена). Случайные возмущения преобразованной модели гомоск-ны, поэтому можно использовать классический МНК.

Коэф. преобразованной модели не имеют собств.интерпретаций, они используются для записи исходной модели, интерпретируются в ее рамках.

2) y/Ϭ =α /Ϭ +β *x/Ϭ +ε /Ϭ

3) y/Ϭ = y*; x/Ϭ = x*; 1/Ϭ = z; v= ε /Ϭ

4) y*=α *z+β *x*+v

2. Если дисперсии случайных возмущений неизвестны, то вырабатываются определенные предположения относительно закона изменения дисперсии случайных возмущений. На практике чаще используется 2 варианта предположений:

1 вариант: 1) неизвестная дисперсия пропорциональна значению одного из фактора: Ϭ ²_i=Ϭ ²x_i

2) модель преобразуется делением обоих частей на корень из х: yi/√ xi=α /√ xi+β *xi/√ xi+ε i/√ xi

3) после замены получаем двухфакторное уравнение регрессии без свободного члена: yi/√ xi=a/√ xi+b*√ xi+ v

4) в случае истинности предположения возмущений преобразование модели гомоскедастична, поэтому ее можно оценивать МНК.

Полученные коэф. используются для записи исходной модели и трактуется в рамках нее. В случае множественной регрессии возможен второй вариант реализации взвешенного МНК. Второй вариант предполагает, что дисперсии возмущений пропорциональны х²_i:

1) Ϭ ²_i=Ϭ ²x_i;

2) yi/xi= a/xi+b +ε i/xi

3) y*= yi/xi; z=1/xi

4) y*=a*z+b+v_i

Таким образом, наблюдения с наименьшими дисперсиями получают наибольшие «веса», а наблюдения с наибольшими дисперсиями – наименьшие «веса». Поэтому наблюдения с меньшими дисперсиями отклонений будут более значимыми при оценке параметров регресси