Числовые ряды

- называется бесконечным числовым рядом

- называется членами ряда

- называют частичной суммой

Ряд называется сходящимся, если его частичная сумма при неограниченном возрастании стремится к конечному пределу, т.е. если .

Число называют суммой ряда. Если же частичная сумма ряда при не стремится к конечному пределу, то ряд называют расходящимся,

Ряд ,

составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму .

Ряд ,

называется гармоническим, ряд расходится.

Приведем основные теоремы о сходящихся числовых рядах.

1. Если сходится ряд

то сходится и ряд

получаемый из данного ряда отбрасыванием первых т членов (этот последний ряд называют т -м остатком исходного ряда); наоборот, из сходимости т -го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда.

2. Если сходится ряд

и суммой его является число , то сходится и ряд

причем сумма последнего ряда равна .

3. Если сходится ряд

имеющие соответственно суммы и , то сходится ряд

причем сумма последнего ряда равна .

4. Если ряд

сходится, то , т.е. при предел общего члена сходящегося ряда равен нулю (необходимый признак сходимости ряда).

Таким образом, если , то ряд расходится.

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда

(1)

(2)

Причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е.

. Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Этот признак остается в силе, если неравенства выполняются не при всех п, а лишь начиная с некоторого номера п=N.

Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел

, то оба ряда и одновременно сходится или одновременно расходится.

Признак Коши. Если для ряда

существует , то этот ряд сходится при С< 1 и расходится при С> 1.

Признак Даламбера. Если для ряда

существует , то этот ряд сходится при D< 1 и расходится при D> 1.

Интегральный признак. Если при - непрерывная, положительная монотонна убывающая функция, то ряд где , сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл .

Рассмотрим теперь ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т.е. ряды вида

,

где .

Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие два условия: 1) 2) .

Возьмем п -ю частичную сумму сходящегося знакочередующегося ряда, для которого выполняется признак Лейбница:

.

Пусть -й остаток ряда. Его можно записать как разность между суммой ряда и п -й

Частичной суммой , т.е. . Нетрудно видеть, что

.

Величина оценивается с помощью неравенства .

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Так как

т.е. , то ряд расходится (не выполняется необходимый признак сходимости).

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Здесь удобно применить признак Коши, поскольку а предел последней дроби находится просто:

Так как , то ряд сходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Имеем

. Так как , то с помощью признака Даламбера не удается решить вопроса о сходимости ряда.

Применим интегральный признак: следовательно, ,

. Интеграл сходится (является конечной величиной), поэтому сходится и данный ряд.