![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Числовые ряды
Ряд называется сходящимся, если его Число Ряд составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму Ряд называется гармоническим, ряд расходится. Приведем основные теоремы о сходящихся числовых рядах. 1. Если сходится ряд то сходится и ряд получаемый из данного ряда отбрасыванием первых т членов (этот последний ряд называют т -м остатком исходного ряда); наоборот, из сходимости т -го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда. 2. Если сходится ряд и суммой его является число причем сумма последнего ряда равна 3. Если сходится ряд
имеющие соответственно суммы причем сумма последнего ряда равна 4. Если ряд сходится, то Таким образом, если Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда
Причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е.
Этот признак остается в силе, если неравенства Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел
Признак Коши. Если для ряда существует Признак Даламбера. Если для ряда существует Интегральный признак. Если Рассмотрим теперь ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т.е. ряды вида
где Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие два условия: 1) Возьмем п -ю частичную сумму сходящегося знакочередующегося ряда, для которого выполняется признак Лейбница:
Пусть Частичной суммой
Величина Пример 1. Исследовать сходимость ряда Так как т.е.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда Здесь удобно применить признак Коши, поскольку Так как
Пример 3. Исследовать сходимость ряда Имеем
Применим интегральный признак:
|