Теоремы функционального ряда

1. Если ряд где -

Непрерывные функции, равномерно сходится в некоторой области Х и имеет сумму , то ряд

, сходится и имеет сумму

2.Пусть функции определены в некоторой области Х и имеют в этой области производные

Если в этой области ряд сходиться равномерно, то его сумма равна производной от суммы первоначального ряда:

Пример 1. Дан функциональный ряд

Исследовать сходимость ряда в точках

Решение: 1) В точке

Здесь

Применяем признак Даламбера:

т.е. . Следовательно, ряд расходится

2) В точках

Здесь ; находим

, т.е. ряд сходится.

Пример 2. Найти область сходимости ряда

Решение: Если то , так как , то ряд расходится.

Если то также получаем расходящий ряд

Если то члены заданного ряда меньше членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии , т.е. ряд сходится.

Итак, область сходимости ряда определяется неравенством Отсюда следует, что ряд сходится, или .