Степенные ряды. Функциональный ряд вида , (*)

Функциональный ряд вида , (*)

где - действительные числа, называется степенным.

Теорема Абеля:

Если степенной ряд сходится при , то он сходится при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству .

радиус сходимости степенного ряда

Число называется радиусом сходимости ряда (*), если при ряд сходится, а при - расходится. Интервал в этом случае называется интервалом сходимости

ряда (*).

Если ряд (*) сходится на всей числовой прямой, то пишут ; если он сходится только при , то пишут .

При ряд (*) может либо сходиться, либо расходиться.

Радиус сходимости ряда можно найти по формуле

Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться одним из следующих способов.

1. Если среди коэффициентов ряда нет равных нулю, т. е. ряд содержит все целые положительные степени разности , то

при условии что этот предел (конечный или бесконечный) существует.

2. Если исходный ряд имеет вид

3. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последовательность оставшихся в ряде показателей степеней разности любая, то радиус сходимости можно находить по формуле , в которой используется только значения а_n, отличные от нуля.

4. Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.

Записав ряд в виде

Интервал сходимости находят из неравенства

или

Если то

где

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение: Здесь ; значит,

Ряд сходится только при