Экстремум функции двух переменных

Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.

, (необходимые условия экстремума)

Точки, в которых частные производные равны нулю, называется стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Пусть - стационарная точка функции . Обозначим

, ,

и составим дискриминант . Тогда:

если , то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум при и минимум при ;

если , то в точке экстремума нет (достаточные условия наличия или отсутствия экстремума);

если , то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Пример 1. Найти экстремум функции

Решение. Имеем . Найдем точки возможного экстремума. Для этого решим систему уравнений решение которой .

Следовательно, - точка возможного экстремума.

Теперь найдем вторые частные производные и :

и то в точке данная функция имеет минимум:

Вопросы для самопроверки

1. Что называется функцией двух независимых переменных; областью определения функции?

2. Что называется частной переменной функции двух переменных?

3. Дайте определение частных производных второго порядка.

4. Дать определение точки экстремума функции двух переменных.

5. Необходимые условия существования экстремума функции двух переменных.

Рекомендуемая литература: ОЛ [3], [5], [6], [8]