Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Задача о площади криволинейной трапеции
Пусть функция определена на отрезке . Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции , прямыми и и отрезком оси Ох.
рисунок 1
Требуется найти площадь криволинейной трапеции. Для этого 1. Разобьем отрезок точками на п элементарных отрезков . Обозначим и , . 2. Через точки деления проведем прямые, параллельные оси Оу. Площадь криволинейной трапеции будет равна сумме площадей полученных полос. Заменим площади всех полос площадями соответствующих прямоугольников, опирающихся на элементарные отрезки с длинами , . Таким образом, в процессе решения каждую полосу заменили прямоугольником, криволинейную трапецию – ступенчатой фигурой.
рисунок 2 3. Найдем площадь каждого прямоугольника. Для этого на каждом отрезке выберем , . Через точку проведем прямую, параллельную оси Оу до пересечения функции . 4. Таким образом, длины сторон каждого прямоугольника равны и Следовательно, площадь каждого прямоугольника равна , . 5. Площадь ступенчатой фигуры равна сумме площадей прямоугольников 6. Площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади ступенчатой фигуры . (1) Равенство (1) тем точнее, чем меньше длина ступеней. Пусть , тогда (2) Определение. Сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке . Определение. Если интегральная сумма имеет предел при условии, что длина наибольшего из отрезков деления стремится к 0, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке . Обозначается:
а– нижний предел интегрирования, в – верхний предел интегрирования. Замечания: 1. Если функция определена и непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует и не зависит от способа разбиения отрезка . 2. Определенный интеграл это число. Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, если . 3. Определенный интеграл зависит от вида подынтегральной функции и пределов интегрирования а и в, но не зависит от переменной интегрирования:
|