Метод интегрирования по частям

Пусть функции, имеющие непрерывные производные. Тогда Интегрируя это равенство,

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться существенно более простым, чем исходный.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей (это, как правило, можно осуществить несколькими способами); затем, после нахождения , используется формула интегрирования по частям.

1.Интегралы вида где многочлен, число.Удобно положить , а за обозначит все остальные сомножители.

2.Интегралы вида Удобно положить , а за обозначить остальные сомножители.

3.Интегралы вида числа. За можно принять функцию .

Пример 1. Найти

Решение: Пусть (можно положить ).Следовательно, по формуле интегрирования по частям:

Пример 2. Найти

Решение: Пусть . Поэтому

Пример 3. Найти

Решение: Пусть . Поэтому

Для вычисления интеграла снова применим метод интегрирования по частям: Значит,

Поэтому

Пример 4. Найти

Решение: Пусть . Поэтому