Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Определение 4. Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется вида (1) или , или или .

Определение 5. Общим решением дифференциального уравнения в области D называется решение, содержащее произвольную постоянную:

(2) (решение в явном виде)

или (3) (решение в неявном виде).

Общее решение в виде (3) называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение 6. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученного из общего решения при конкретном значении . Частное решение имеет вид .

Для отыскания частного решения задают дополнительное условие, которые называется начальное условие: . Начальное условие подставляют в общее решение и находят .

Определение 7. Задача, в которой требуются найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию , называется задачей Коши.

Определение 8. Построенный на плоскости (ХОУ) график всякого решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Общему решению соответствует семейство интегральных кривых. Частному решению, удовлетворяющему начальному условию , соответствует одна интегральная кривая, проходящая через точку .

Теорема Коши. Если функция непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, то решение дифференциального уравнения при начальном условии существует и единственное. ,

Пример. , (C- const)

, ,

начальные условия

, , , - частное решение.