Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка называется вида

(1), где - функция от х или постоянные

Определение2. Если правая часть (тождественно), то уравнение называется однородным линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка, если , то уравнение называется неоднородным. Таким образом

(1) – неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка (уравнение правой частью),

(2) - однородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Пусть p, q – постоянные, тогда имеем частные случаи уравнений (1) и (2):

(3) – неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (с правой частью)

(4) – однородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка представляет собой наиболее хорошо изученный класс уравнений, многие задачи физики приводят к решению таких уравнений. В физике уравнение (3) называют уравнением вынужденных колебаний, а уравнение (4) – уравнением свободных колебаний.

Определение3. Функции и называются линейно независимыми, если .

Теорем (об общем решении однородного уравнения). Пусть и - два частных линейно независимых решения уравнения (2) . Тогда общее решение уравнения (2)

имеет вид , где - произвольные постоянные.