Формула Бернулли.

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события A.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью . Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно раз в испытаниях, вычисляется по формуле Бернулли: , где < < 1 , , - вероятность появления противоположного события, .

Вероятность того, что событие А наступит

1. менее раз: ;

2. не более раз: ;

3. более раз: ;

4. не менее раз: .

3. Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0< p< 1). Событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равно

или , где

Вероятность того, что в п независимых событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, - находят соответственно по формулам:

Пример 1. В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего шара, в урне тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет два белых.

Решение: