Теорема о потенциальной энергии.

Под потенциальной энергией W_p взаимодействующих тел или частей одного тела понимают СФВ, характеризующую их способность совершать работу за счет изменения взаимного расположения тел или частей одного тела. Потенциальная энергия в одинаковой степени характеризует все взаимодействующие тела или их части. При этом между ними действуют силы, которые называют консервативными, работа этих сил не зависит от траектории движения тел, но определяется их начальными и конечными положениями.

При наличии только консервативных сил потенциальную энергию взаимодействия системы, состоящей из N тел (м.т.), можно представить в виде потенциальных энергий попарного их взаимодействия друг с другом и с внешними телами (с номерами от (N+1) до (N+L)):

(1.70)

где - потенциальная энергия взаимодействия i -того и к -того тел. Коэффициент (1/2) в первом слагаемом связан с тем, что потенциальная энергия взаимодействия тел i и к встречается здесь два раза (например, и ) и в ней исключаются слагаемые с i=к. Для замкнутой системы второго слагаемого, описывающего взаимодействие тел системы с внешними телами, в формуле (1.70) не будет.

Потенциальные взаимодействия принято обычно описывать введением силового поля, а именно, считается, что одно тело взаимодействует в месте своего расположения с силовым полем, созданным другими телами. Такой подход удобно использовать в том случае, когда движение одного тела (например, первого) слабо влияет на движение другого тела (второго). Тогда можно считать, что первое тело находится в потенциальном поле, созданном вторым телом, и потенциальную энергию их взаимодействия приписать первому телу. Так, например, говорят о потенциальной энергии тела в поле тяготения Земли, о потенциальной энергии заряда в электрическом поле и т.д. При этом движение тела (заряда) слабо влияет на силовое поле, в котором оно движется. Вспомним, что обычно говорят: тело падает на Землю, а не Земля падает на тело. Этим самым отмечают тот факт, что движение тела практически не изменяет положение Земли.

Примерами консервативных сил в механике являются силы тяготения и упругости, а неконсервативных сил - силы трения, сопротивления, тяги, силы химических реакций, возникающих при разрыве снаряда, при выстреле и т.д.

Название «консервативные» силы связано с тем, что полная механическая энергия W_M системы тел, взаимодействующих между собой посредством только консервативных сил, сохраняется.

Выведем формулы для потенциальных энергий взаимодействия тел, между которыми действуют силы тяготения и силы упругости.

1. Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли. Между телом (м.т.) массы m и Землей (однородный шар радиуса R_З) массы M_З действует сила тяготения:

,

где G – гравитационная постоянная, а r – расстояние от центра Земли до тела (рис. 1.24.а).

Рис.1.24

Рассчитаем работу А ₁₂ силы тяготения при переходе тела из точки 1 в точку 2, находящихся соответственно на расстояниях r ₁ и r₂ от центра Земли:

(1.71)

Из формулы (1.71) следует, что работа силы тяготения определяется убылью величин, зависящих только от начального и конечного положения тела и Земли. Значит, силы тяготения являются консервативными силами, а сами эти величиныпредставляют собой потенциальные энергии гравитационного взаимодействия тела и Земли:

(1.72)

Потенциальная энергия W_p определяется с точностью до постоянной величины, ее нулевой уровень отсчета W_p выбирается произвольно для удобства решения конкретных задач. Можно этот выбор провести следующим образом: считать, что при

(1.73)

Как уже отмечалось выше, формулу (1.72) можно также рассматривать как потенциальную энергию тела в гравитационном поле, созданном Землей. В этом случае нулевой уровень отсчета W_p удобно выбирать на поверхности Земли (h=0, W_p =0)

, (1.74)

где g₀= GM_З/R_З² =9, 81м/с² - ускорение свободного падения на уровне океана

(h = 0, r = R₃); h - высота тела над поверхностью Земли.

2.Потенциальная энергия упруго деформированного тела. Рассмотрим работу силы упругости при сжатии пружины из состояния 1 до состояния 2 (рис. 1.24б) с координатами х₁ и х₂ соответственно

(1.75)

Из (1.75) следует, что сила упругости является консервативной силой, а величина является суммарной взаимной потенциальной энергией всех частей упруго деформированного тела (см. формулу (1.70)).

Обобщая формулы (1.71) и (1.75) можно сформулировать теорему о потенциальной энергии: работа консервативных сил, действующих между телами или частями одного тела равна убыли их взаимной потенциальной энергии.

Для тела, движение которого слабо влияет на движение другого тела, создающего силовое поле, теорему о потенциальной энергии можно сформулировать так: работа консервативных сил, действующих на тело, равна убыли потенциальной энергии тела в поле этих сил

(1.76)

1.4.5. Формула связи потенциальной энергии W_p и консервативной силы

Между консервативной силой , действующей между телами, и потенциальной энергией их взаимодействия W_p. существуют определенные формулы взаимосвязи, установим их. Для этого распишем выражение для элементарной работы консервативной силы вдоль произвольного направления () и подставим его в теорему о потенциальной энергии (1.76). Тогда

(1.77)

Выбирая направление , совпадающим с направлениями координатных осей, можно оценить проекции силы на эти оси и тем самым записать формулу взаимосвязи вектора силы и потенциальной энергии

(1.78)

Направление градиента потенциальной энергии в данной точке пространства в формуле (1.78) обозначено как .

Итак, согласно выражению (1.78) консервативная сила, действующая между телами, в каждой точке пространства равна по модулю и противоположна по направлению градиенту потенциальной энергии взаимодействия этих тел.

Проверим полученную формулу (1.78) для поля тяготения Земли (h < < R₃, , рис.1.25). Из формулы (1.74) следует

,

что и требовалось показать

Рис.1.25