Билет 21.

1) Область D на плоскости Oxy - простой (правильной) в направлении оси Oy, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oy, пересекает границу D в двух точках

Простая (правильная) область в направлении оси Ox: любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oх, пересекает границу D в двух точках.

Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному. Пусть D - простая в направлении оси Oy и Ox области. Тогда двойной интеграл от непрерывной функции по области D равна повторному интегралу от той же функции по области D:

2)Гармонические поля. Скалярное поле называется гармоническим, если оно удовлетворяет уравнению Лапласа , или . Векторное поле (M) называется гармоническим, если оно является градиентом некоторой гармонической функции, т.е. (M) , где .

Гармоническое векторное поле одновременно потенциально и соленоидально, так как . Верно и обратное: если (M) одновременно и потенциально, и соленоидально, то оно является гармоническим. Из потенциальности , из соленоидальности , т.е. - гармонический потенциал. Каждая координата гармонического векторного поля является гармонической функцией.

3) Теорема. Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая функция в окрестности точки разлагалась в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Необходимость. Пусть в окрестности точки функция представлена в виде сходящегося к этой функции ряда Тейлора , где - частичная сумма ряда, - его остаток. Так как имеет требуемое количество производных, она может быть представлена и в виде формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: . Сравнивая эти представления, получаем . Из сходимости ряда к следует, что , что и требовалось доказать.

Достаточность. Если , то , т.е. остаток ряда стремится к нулю при , т.е. ряд сходится к функции .

4) эллиптический парабалоид

5) ds=