Свойства потенциального поля. 1. Потенциал определён с точностью до произвольной постоянной ( ).

1. Потенциал определён с точностью до произвольной постоянной ().

2. Разность потенциалов в двух точках определена однозначно.

3. Если поле (M) потенциально, то линейный интеграл этого поля по любой кривой , целиком лежащей в V, определяется только начальной и конечной точками этой кривой, и не зависит от формы кривой. . Эта формула, как и в плоском случае, является обобщением формулы Ньютона-Лейбница для потенциального поля.

4. Циркуляция потенциального в области V поля по любому контуру, лежащему в V, равна нулю.

5. Векторная линия потенциального поля в каждой точке М ортогональна эквипотенциальной поверхности (т.е. поверхности уровня потенциала), проходящей через точку М.

6. Ротор потенциального векторного поля равен нулю:

.

Пример. потенциально, Условие безвихревости поля : в координатной форме сводится к равенствам , , . В нашем поле , , . Находим производные:

, ; , ; , . Потенциальность поля доказана.

3) Признак сходимости Даламбера. Пусть для положительного ряда существует . Тогда: если q < 1, то ряд сходится, если q > 1, то ряд расходится, если q =1, то ряд может и сходиться, и расходиться (признак не работает). Доказательство. 1. Пусть < 1. Возьмём . . Если q < 1, то число . Итак, при . Выпишем это неравенство для : , , , …, . Все члены ряда, начиная с N +2-го, меньше членов сходящейся геометрической прогрессии, поэтому сходится, поэтому сходится.

2. Пусть > 1. Возьмём . .

Если q > 1, то число . Итак, при . Выпишем это неравенство для : , , , …, . Все члены ряда, начиная с N +2-го, больше членов расходящейся геометрической прогрессии, поэтому расходится, поэтому расходится.

3. Для рядов и мы получим q =1. Первый из этих рядов сходится, второй расходится, но для обоих q =1, т.е. в этом случае вопрос о сходимости ряда действительно остаётся открытым.

4)

5)

6) а) Даламбер: сходится

б) сходится