Почленно интегрируя ряд , получим разложение для функции . Выполнить все выкладки самостоятельно, выписать область сходимости.

9. Выпишем разложение функции по формуле биномиального ряда с : . Знаменатель представлен как , двойной факториал означает произведение всех натуральных чисел той же чётности, что и , не превосходящих . Разложение сходится к функции при . Почленно интегрируя его от 0 до х, получим . Оказывается, что этот ряд сходится к функции на всём отрезке ; при х=1 получаем ещё одно красивое представление числа : .

4. Расставьте пределы интегрирования в двойном интеграле, поменяйте порядок интегрирования, перейдите к полярным координатам, если y x+y .(4 балла).

6. Исследуйте на сходимость.

) -расходится, т.к. не соблюдается необходимый признак сходимости.

Sin(б.б.в) расходится, т.к. не соблюдается признак Лейбница.
Значит данный ряд расходится.

Применим признак Даламбера.

Ряд из модулей расходится, т.е. ряд расходится абсолютно. Не выполняется признак Лейбница, ряд расходится.
Ответ: два заданных ряда расходящиеся.РяРя

Билет 18.

1).Несобственным двойным интегралом первого рода называется несобственный интеграл по неограниченной поверхности. Построим области G, такие, что каждая последующая область вклюяает в себя предыдущую, и области уходят в бесконечность. Рассматривая интеграл по областям яв-ся пересечением области D и G. Если все эти интегралы имеют конечный предел, то он сходится, в другом случае расходится.

П=

.
Построим области, которые яв-ся окружностями с центром в начале координат, чьи радиусы уходят в бесконечность. Перейдем в полярные координаты и возьмем данный интеграл.
=(при r-> inf)= .

= =π.

Заключаем, что П= .

2).. Ротор векторного поля. Ротором векторного поля (M) в точке называется векторная величина (векторное поле) . Запомнить эту формулу очень легко, если выразить через оператор Гамильтона набла: равен векторному произведению . Действительно, . Если теперь раскрыть этот определитель по первой строке, получим

.

Пример: если , то

Свойства ротора:

1. Если (M) - постоянное векторное поле, то ;

2. (или );

3. Если u - скалярное поле, то (или ). В частности, если (M) - постоянное векторное поле, то .

Докажем третье свойство.

.

Инвариантное определение ротора. Пусть . Возьмём малую плоскую площадку , ограниченную контуром С. По теореме Стокса циркуляция по С равна . Считая, что мало меняется на , и что поверхностный интеграл равен , получим . Будем теперь крутить площадку вокруг точки М, при этом циркуляция меняется вместе с . Максимальное значение циркуляция получит при , т.е. когда направления и совпадут. Следовательно, указывает направление, вокруг которого циркуляция максимальна и равна . Модуль ротора определяется соотношением .

2).. Если степенной ряд сходится в точке , то

1. он абсолютно сходится в любой точке х, удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся ближе к точке , чем );

2. он сходится равномерно на любом отрезке , целиком лежащем на интервале (т.е. на интервале с центром в радиуса ).

3. Если этот ряд расходится в точке , то он расходится в любой точке х, удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся дальше от точки , чем ).

. Члены ряда в точке х по абсолютной величине не превосходят членов сходящейся геометрической прогрессии, следовательно, ряд сходится абсолютно в точке х, следовательно, он сходится абсолютно в любой точке интервала .

2. Пусть отрезок , целиком лежит на интервале . Из точек а, b выберем ту, которая находится дальше от точки , примем для определённости, что это - точка а: . Тогда для любого х из этого отрезка . В точке ряд , по доказанному, сходится абсолютно, но он является на мажорантой для ряда , следовательно, степенной ряд сходится равномерно на отрезке .

3. Пусть степенной ряд расходится в точке , и . То, что ряд расходится в точке х, докажем от противного. Если предположить, что он сходится в точке х, то, по доказанному, он сходится во всех точках, расположенных ближе к , чем х, следовательно, он сходится в точке , что противоречит условию.

. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда. Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R (возможно, ) такое, что при степенной ряд сходится, при ряд расходится. Действительно, пусть в точке ряд сходится, в точке ряд расходится. Рассмотрим точку , расположенную между областями, в которых установлена сходимость и расходимость. В точке числовой ряд либо сходится, либо расходится. Если он сходится, то мы можем перенести точку в точку ; если ряд в точке расходится, мы переносим в точку . Продолжая этот процесс, мы сблизим точки и , эта граница и определит число R.

Определение. Число R такое, что при степенной ряд сходится, при ряд расходится, называется радиусом сходимости. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда.

Сходимость ряда в концевых точках интервала сходимости должна исследоваться отдельно. В зависимости от поведения ряда на концах интервала сходимости область сходимости степенного ряда может быть одной из следующих: , , , .

Итак, для определения области сходимости степенного ряда надо найти его интервал сходимости R, затем исследовать поведения ряда в концевых точках интервала сходимости .

Примеры. 1. . Для определения радиуса сходимости этого ряда целесообразно применить признак сходимости Дирихле. Однако этот признак, как и многие другие, может применяться только к положительному ряду, поэтому выпишем ряд, состоящий из абсолютных величин членов исследуемого ряда: . Применяем признак Дирихле: . Следовательно, . Мы нашли радиус сходимости R =3 и интервал сходимости . Исследуем поведение ряда на концах интервала: , ряд сходится. , ряд сходится абсолютно. Область сходимости - интервал [-7, 7].

4). = )dxdy – формула Грина

P=x+2y Q=

= )dxdy=2 -2 = .

5).z= -элиптический параболоид

Z=4- => z=-( - эллиптический параболоид

Перейдем в цилиндрические координаты

V= =4π.