Достаточные условия потенциальности.

Теорема. Если область V и поле (M) удовлетворяют следующим условиям:

1. V - односвязная область;

2. Поле (M) - безвихрево (т.е. ),

то (M) - потенциальное в V поле.

Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае, когда выполняются условия независимости от формы пути. Именно, требуется доказать, что . Действительно, пусть

(на ) (по теореме о среднем) . Точка удовлетворяет условиям . Устремим , тогда , и .

Аналогично доказывается, что .

Задача 4.

Найдите площадь части поверхности сферы x²+y²+z²=a², заключенной внутри цилиндра x²+y²=ax

Решение:

.

z= √ (a²-(x²+y²))

z^’_x= - x/√ (a²-(x²+y²));

z^’_y= - y/√ (a²-(x²+y²));

s(σ) = ∫ ∫ √ (1+x²/(a²-(x²+y²))+y²/(a²-(x²+y²))) dxdy = a ∫ ∫ (1/√ (a²-(x²+y²))) dxdy = a ∫ dφ (пределы инт. От –π /2 до π /2) ∫ (1/√ (a²-r²)) dr(от 0 до a) = a ∫ dφ (пределы инт. От –π /2 до π /2) * arcsin(r/a) (от 0 до a) = aπ ²/2

Задача 5

Применяя формула Стокса, вычислите циркуляцию векторного поля a= (2x² + 4z) i + (x-3y+z) j + (3y-2)k по контуру треугольника с вершинами A(0; 1; 0), B(0; 0; 1), C(1; 0; 1), обход совершается в направлении ABCA

Решение

Ц = ;

n= {0; -1; -1};

n₀ = 1/√ 2{0; -1; -1};

rot a = {2; -4; 1};

(rot a, n₀) =3/√ 2

Ц= ∫ ∫ 3/√ 2 dS= 3/√ 2* S_ABC=3/√ 2*0.5*√ 2=1.5

Задача 6.

Исследуйте числовые ряды на сходимость

a)∑ (-1)ⁿ/(n- ln n) n=2….беск.

|a_n|= 1/(n- ln n) ̴ 1/n(1-ln n/n) ̴ 1/n, но по критерию сходимости Коши 1/n – гармонический расходящийся ряд => ряд расходится.

б) ∑ tg((-1)ⁿ⁺¹π /2√ n) ̴ ∑ (-1)ⁿ⁺¹π /2√ n;

|a_n|= π /2√ n= π /2n^{1/2< 1} => расходится