Окружность

Глава 5 Кривые второго порядка

Линии, определяемые алгебраическими уравнениями второй степени относительно переменных и , т.е. уравнениями вида

(40)

называются кривыми второго порядка.

Окружность

Окружностью называется множество всех точек плоскости, удаленных от заданной точки на одно и тоже расстояние . Точка называется центром, а - радиусом окружности.

В прямоугольной системе координат уравнение окружности имеет вид

, (41)

где - координаты ее центра. Уравнение (41) называется каноническим уравнением окружности. В частности, если , (т.е. центр окружности совпадает с началом координат), то уравнение (41) имеет вид

(42)

Рисунок 62

Общее уравнение второй степени (40) определяет окружность, если и .

Уравнение второй степени (42) определяет точку при с координатами .

Уравнение второй степени вида определяет мнимую окружность.

Эллипс

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (равная и большая, чем расстояние между фокусами).

Каноническое уравнение эллипса: , (43)

где - большая полуось, - большая ось, - малая полуось, - малая ось, эллипса. Координаты фокусов: , , где с – половина расстояния между фокусами (рисунок 63). Числа и связаны соотношением

(44)

Точки называются вершинами эллипса, точка - центром эллипса, расстояния и от произвольной точки эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки.

Рисунок 63 Рисунок 64

Эксцентриситетом эллипса называется число, равное отношению фокусного расстояния (расстояния между фокусами) к длине большой оси

: (, т.к. ).

Фокальные радиусы определяются формулами: , .

Директрисами эллипса называются прямые и , перпендикулярные большей оси эллипса симметричные относительно центра, и отстоящие от нее на расстоянии равном : уравнения директрис: и (45)

Замечания: 1) Если , то уравнение (43) определяет окружность ;

2) если фокусы эллипса лежат на оси , то эллипс имеет вид: (рисунок 64): В этом случае: , , , уравнения директрис ;

3) уравнение эллипса с центром в точке , имеет вид (рисунок 65).

Рисунок 65

Теорема. Отношение расстояний от любой точки эллипса до фокуса и соответствующей директрисы равно эксцентриситету.