Задача 9

Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет , фокус и уравнение соответствующей директрисы .

Решение.

Точка принадлежит эллипсу, если отношение расстояний до фокуса и соответствующей директрисы равно , т.е. .

,

,

Рисунок 84

.

Ответ. .

Задача 10

Дано уравнение гиперболы . Найти:

а) длины его полуосей;

б) координаты фокусов;

в) эксцентриситет гиперболы;

г) уравнения асимптот и директрис; и нарисовать кривую.

Решение.

Разделив обе части уравнения на 16, приведем уравнение гиперболы к каноническому виду : .

а) длины его полуосей , , т.е. , ;

б) координаты фокусов. Используя соотношение , находим , т.е. . Координаты фокусов: и ;

в) эксцентриситет гиперболы. По формуле находим ;

г) уравнения асимптот и

директрис найдем по формулам

и :

и .

Рисунок 85