Канонический вид уравнений поверхностей второго порядка. Геометрическое изображение

Глава 6 Поверхности второго порядка

Если в пространстве ввести прямоугольную систему координат то каждая поверхность определяется некоторым уравнением , - координаты любой точки поверхности. Если - многочлен не выше второй степени относительно совокупности переменных , то уравнение называется уравнением второго порядка, а поверхность, изображаемая этим уравнением называется поверхностью второго порядка.

Если поверхность имеет специфическое расположение относительно системы координат (например, симметрична относительно некоторых координатных плоскостей, или имеет вершину в начале координат), то ее уравнение имеет достаточно простой вид, который называется каноническим.

Канонический вид уравнений поверхностей второго порядка. Геометрическое изображение

Сферой называют множество точек пространства , которые равноудалены от точки, называемой центром сферы на расстояние, называемое радиусом сферы.

Сфера радиуса с центром в начале координат (рисунок 96)

(60)

Рисунок 96

Уравнение (61)

изображает сферу радиуса с центром в точке .

Эллипсоид с полуосями и центром в начале координат (рисунок 97)

(62)

При эллипсоид превращается в сферу радиуса .

Рисунок 97 Рисунок 98

Однополостный гиперболоид с полуосями и осью (рисунок 98)

(63)

Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями являются эллипсами: .

Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями или являются гиперболами: или .

Двуполостный гиперболоид с полуосями и осью (рисунок 99)

(64)

Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями , являются эллипсами: .

Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями или являются гиперболами: или .

Рисунок 99 Рисунок 100

Параболоид эллиптический с параметрами и вершиной в начале координат (рисунок 100)

(65)

Сечения параболоида горизонтальными плоскостями ( при , при ) являются эллипсы: .

Сечения параболоида вертикальными плоскостями или являются параболами: или .

Параболоид гиперболический с параметрами и вершиной в начале координат (рисунок 101)

(66)

Сечения параболоида горизонтальными плоскостями представляют собой гиперболы: .

Сечения вертикальными плоскостями или являются параболами: или .

Рисунок 101 Рисунок 102

Конусом называется поверхность, составленная из прямых линий, проходящих через фиксированную точку – вершину конуса. Прямые называются образующими, а линия, которая лежит на конусе, не проходит через вершину и пересекает все образующие, называется направляющей конуса.

Конус эллиптический с вершиной в начале координат и осью (рисунок 102)

(67)

Если , то конус круглый или круговой.

Пересечение конуса горизонтальными плоскостями являются эллипсами: , (при эллипс вырождается в точку).

Сечения конуса вертикальными плоскостями или являются гиперболами: или при ;

или парой пересекающихся прямых: , при .

К поверхностям второго порядка относятся цилиндры.

Цилиндры:

Поверхность, которая состоит из прямых линий, параллельных заданному направлению, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром, а прямые линии – ее образующими. Линию, лежащую на поверхности и пересекающую все образующие, называют направляющей.

Мы ограничимся перечислением цилиндров, направляющие которых расположены в плоскости , а образующие – прямые, параллельные оси .

Эллиптический цилиндр (рисунок 103): (68)

Если , то цилиндр круговой .

Гиперболический цилиндр (рисунок 104): (69)

Рисунок 103 Рисунок 104

Параболический цилиндр (рисунок 105): (70)

Примечание. Если в каждом из приведенных канонических уравнений заменить , , , где - фиксированные числа, то новые уравнения представляют те же поверхности и они занимают в системе координат такое же положение относительно плоскостей , , как поверхности, заданные канонически относительно координатных плоскостей Рисунок 105

, , .

Другими словами, приведенные формулы представляют параллельный сдвиг поверхности на вектор .

Вопросы для самоконтроля

1 Запишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида и

изобразите его.

2 Какую поверхность определяет уравнение

3 Запишите каноническое уравнение двуполостного гиперболоида и

изобразите его.

4 Сформулируйте определение сферы, запишите каноническое уравнение сферы и изобразите ее.

5 Однополостный гиперболоид рассекаем плоскостью .Какая кривая будет в сечении?

6 Сформулируйте определение цилиндрической поверхности.

7 Какую поверхность определяет уравнение

8 Запишите каноническое уравнение эллиптического параболоида и

изобразите его.

9 Запишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра и

изобразите его.

10 Запишите каноническое уравнение параболического цилиндра и изобразите его.

11 Двуполостный гиперболоид рассекаем плоскостью . Какая кривая будет в сечении?

12 Круговой цилиндр рассекаем плоскостью . Какая кривая будет в сечении?

13 Запишите каноническое уравнение конуса и изобразите его.

14 Какую поверхность определяет уравнение

15 Какую поверхность определяет уравнение

16 Эллиптический параболоид рассекаем плоскостью . Какая кривая будет в сечении?

17 Гиперболический параболоид рассекаем плоскостью . Какая кривая будет в сечении?

18 Какую поверхность определяет уравнение ?

19 Какую поверхность определяет уравнение ?

20 Какую поверхность определяет уравнение ?