Пример 3.6.

Пусть в результате наблюдения за экономическим процессом получен ряд из пяти пар чисел , характеризующих (описывающих) данный процесс (X – объясняющая переменная, причина; Y – объясняемая переменная, следствие):

Например, Х – цена предложения товара (грн./шт.), Y – объем предложения товара (тыс.грн.).

Поскольку переменных две, а характер поведения рассматриваемого процесса неизвестен – построим на основе этих эмпирических данных корреляционное поле в декартовой системе координат (рис.3.2).

Корреляционное поле (точечный график; точечная диаграмма рассеивания) – это графическое изображение совокупности реальных статистических данных (данных наблюдений) в виде точек в декартовой системе координат.

Рис.3.2. Корреляционное поле, эмпирическая и теоретическая линии регрессии

Если на корреляционном поле соединить все точки в порядке возрастания Х отрезками прямой получим эмпирическую (наблюдаемую) линию регрессии.

Причем, если в массиве наблюдений некоторому значению X соответствует несколько значений Y, то только для построения эмпирической линии регрессии при каждом таком Х должно быть определено групповое среднее значение Y. Поэтому в общем случае эмпирическая линия регрессии строится по групповым средним значениям Y, которые определены при имеющих место в массиве наблюдений значениях Х, т.е. необходимо поступать так, как в качестве примера показано на рис.3.3.

Рис.3.3. К методике построения эмпирической линии регрессии

Характер эмпирической линии (в общем случае – поверхности) регрессии дает представление об ожидаемом поведении среднего значения Y под влиянием фактора X (в общем случае – под влиянием учтенных факторов).

Статистические данные, представленные в числовом виде (в виде таблицы значений), не всегда удобны и наглядны. Они значительно лучше воспринимаются, если представлены в аналитическом виде, т.е. в виде функций. Можно построить полином. Однако во многих случаях эмпирические данные по Х и по Y не являются достаточно точными (ошибки измерений, влияние других факторов, ограниченный объем массива наблюдений). Поэтому представляет интерес выбор такой аппроксимирующей функции , чтобы значения её находились достаточно близко от известных (наблюдаемых) значений при наблюдаемых значениях , но не обязательно совпадали с ними.

Например, по расположению эмпирической линии регрессии на рис.3.2 можно предположить, что форма корреляционной связи – линейная.

Уравнение парной линейной регрессии:

,

где

- параметры уравнения регрессии.

Линия регрессии, построенная по уравнению регрессии, называется теоретической линией регрессии.

Интерпретация параметров уравнения парной линейной регрессии (рис.3.2):

параметр – это постоянная регрессии, определяющая точку пересечения регрессионной прямой с осью ординат. Например, если Y – валовые издержки, то – это постоянные издержки. Экономическая интерпретация параметра возможна не всегда. В общем случае отражает средний эффект всех факторов, которые влияют на Y за исключением явно включенных в модель;

параметр – это коэффициент регрессии. Отражает наклон линии регрессии, вдоль которой рассеяны данные наблюдений. Параметр может быть интерпретирован как показатель, характеризующий изменение переменной Y, которое вызвано изменением значения Х на единицу, и равняется тангенсу угла наклона на рис.3.2.Знак параметра определяет направление этого изменения. При положительном коэффициенте регрессии с ростом значений Х растет и , при отрицательном – увеличение значений Х сопровождается уменьшением .

При выборе (выявлении) функциональной составляющей связи в качестве меры «близости» часто принимается квадрат расстояния между эмпирической функцией, заданной таблицей значений, и аналитическим аналогом. Такое приближение функции решается методом наименьших квадратов.

Обычный метод наименьших квадратов (МНК)

Суть метода в том, чтобы сумма квадратов отклонений расчетных значений (определенных по теоретической линии регрессии при наблюдаемых значениях ) от наблюдаемых значений была наименьшей.

Метод построения аппроксимирующей функции из этого условия называется методом наименьших квадратов.

В соответствии с идеей МНК необходимо минимизировать функционал

,

где

, - значения переменных в i -том наблюдении (наблюдаемые значения);

- теоретическое (расчетное) значение Y при ;

n - количество наблюдений.

Минимум функционала достигается в той точке, в которой первые частные производные от функционала Q по параметрам и обращаются в ноль:

;

.

В результате получаем систему нормальных линейных уравнений относительно неизвестных параметров и :

;

.

Решив систему, получим:

- коэффициент регрессии

; (3.1)

- постоянная регрессии (свободный член)

, (3.2)

где

- средние значения соответственно X и Y для данного массива наблюдений.

Если фактор Х не оказывает влияния на результат Y, то , линия регрессии параллельна оси абсцисс и .

Данные для расчета параметров уравнения регрессии (пример 3.6):

i	X	Y
	1, 0	1, 25	1, 00	1, 250	1, 5625
	1, 5	1, 40	2, 25	2, 100	1, 9600
	3, 0	1, 50	9, 00	4, 500	2, 2500
	4, 5	1, 75	20, 25	7, 875	3, 0625
	5, 0	2, 25	25, 00	11, 250	5, 0625
Σ	15, 0	8, 15	57, 50	26, 975	13, 8975
Σ /5	3, 0	1, 63	11, 50	5, 395	2, 7795

;

.

Тогда оцененное уравнение парной линейной регрессии в явном виде:

Если бы между Y и X существовала чисто функциональная связь, то все наблюдаемые значения Y лежали бы на теоретической линии регрессии.

Приведение нелинейных парных регрессий к линейному виду по параметрам и по переменным (линеаризация функций)

Достаточно часто между экономическими показателями имеют место нелинейные взаимосвязи. Основной прием, с помощью которого упрощается процесс оценки параметров нелинейных взаимосвязей, – их линеаризация.

Линеаризация – это переход от нелинейной формы связи (гиперболической, показательной, степенной, логарифмической и т.п.) к линейной (по внешнему виду) форме с помощью различных преобразований, что позволяет в дальнейшем оценивать параметры обычным методом наименьших квадратов.

В частности, параметры нелинейных парных регрессий можно также оценивать по выражениям (3.1) и (3.2), произведя предварительно их приведение к линейному виду.

Пример 3.7.

Если прологарифмировать степенную зависимость , то получим её линейную по переменным и по параметрам форму

.

Полученная зависимость линейна относительно и может быть оценена как парная линейная регрессия.

Тогда при оценивании параметров и значения переменных и в выражениях (3.1) и (3.2) должны быть заменены на их логарифмы. Результат же для свободного члена, вычисленный по формуле (3.2), должен быть преобразован путем нахождения его антилогарифма:

.