Частотный метод построения области устойчивости

При значении порядка системы использование алгебраических методов связано с решением сложных неравенств. В этом случае для определения области устойчивости более эффективным является частотный метод D - разбиения Неймарка, который в отличие от алгебраического метода является численным методом.

Сущность метода D - разбиения по коэффициенту усиления заключается в следующем. Из характеристического уравнения разомкнутой системы, представленного в виде:

.

находится выражение для в операторной форме:

.

При подстановки для значений определяется условие на комплексный коэффициент , при котором замкнутая система имеет корни на мнимой оси. Построенная кривая D - разбиения при разбивает комплексную плоскость на области с различным содержанием устойчивых корней. При переходе из одной смежной области в другую через кривую D - разбиения один вещественный или пара комплексных сопряженных корней переходит через мнимую ось. Область, содержащая наибольшее число левых корней называется претендентом на устойчивую область. Для установления правила, определяющего область претендент, рассмотрим пример при .

Полагая , получим и, следовательно, , , . Тем самым годограф проходит по мнимой оси и разделяет комплексную плоскость на две области. Из характеристического уравнения следует, что система устойчива при , т.е. при . Если нанести штриховку на кривой D – разбиения слева при изменении от до , то область устойчивости будет на стороне штриховки. Тем самым в данной области наибольшее число устойчивых корней (один единственный корень). При переходе из правой полуплоскости (со стороны штриховки) в левую полуплоскость один корень становится неустойчивым и наоборот. Данные свойства также справедливы для .

В общем случае для системы -го порядка, если суммарное число переходов корней при переходах из области с наименьшим числом корней в область с наибольшим числом равно , то область претендент будет областью устойчивости.

Если число таких переходов меньше , то найденную область претендент необходимо проверить на устойчивость для любого фиксированного вещественного значения коэффициента усиления из данной области с помощью какого-нибудь критерия устойчивости.

При этом как частный случай вещественная полуось является областью устойчивости по коэффициенту .

Построение области устойчивости по коэффициенту усиления методом Д - разбиения можно проводить в системе MATLAB с помощью функции nyquist для операторного выражения коэффициента усиления . С описанием функции nyquist, а также других функций используемых ниже, можно ознакомится в [10-12] или с помощью команды help, например:

> > help nyquist

Построение кривой Д-разбиения по коэффициенту усиления рассмотрим на примере передаточной функции разомкнутой системы схемы А, рассмотренной выше:

где , с, с, с; с, с.

Поскольку здесь коэффициент пропорционален , то найдем сначала область устойчивости по коэффициенту .

Из уравнения получим выражение для коэффициента в операторном виде

.

Для принятых параметров построение кривой Д-разбиения осуществляется с помощью командных строк:

> > Kpas=-tf([0.04 1], [0.4 1])*tf([0.2 1], [1])*tf([0.96 1], [1])*tf([0.38 1], [1])

> > nyquist(Kpas)

В результате выполнения на экране откроется окно рис. 15, а, на котором построена кривая Д – разбиения в укрупненном виде. Стрелки на графике указывают направление при изменении частоты от до .

Для уточнения поведения кривой в окрестности начала координат необходимо нажать на панели кнопку увеличения масштаба и с помощью левой клавиши мыши выделить область в окрестности начала координат несколько раз до тех пор, пока не будет видна точка (рис.15, б).

С помощью графических средств панели управления построенный график рис. 15, б можно отредактировать (задать нужный вид, внести обозначения, нанести штриховку для выделения области претендента на устойчивость). Для этого на панели инструментов Figure, например, последовательно выбрать:

Edit Figure Properties Style Color White.

С помощью мыши растянуть график, отредактировать график и затем на панели инструментов Figure выбрать:

Edit Copy Figure.

Открыть документ Word и вставить график с помощью кнопки на панели инструментов.

Рис. 15, а Рис. 15, б

Из уточненного графика рис. 15, б следует, что область претендент на устойчивость замкнутой системы определяется неравенством , что совпадает с результатом, полученным с помощью критерия Гурвица. Проверим устойчивость данной области, например при , по характеристическому полиному замкнутой системы

с помощью критерия Михайлова. Для этого построим годограф Михайлова с помощью командных строк

> > D=tf([0.04 1], [1])*tf([0.2 1], [1])*tf([0.96 1], [1])*tf([0.38 1], [1])...

+tf([0.4 1], [1])

> > [u, v, w]=nyquist(D, {1e-8, 100}); plot(squeeze(u), squeeze(v)); grid

В результате выполнения на экране откроется окно рис. 16, а, на котором построен годограф Михайлова в укрупненном виде. Аналогично предыдущему на рис.16, б в увеличенном масштабе получен график в окрестности начала координат, где видна точка .

Рис. 16, а Рис. 16, б

Из рис.16, а, рис.16, б следует, что вид годографа Михайлова соответствует устойчивой замкнутой системы при . Тем самым замкнутая система устойчива при . Отсюда можно определить область устойчивости по коэффициенту усиления , которая должна совпадать с аналогичной областью устойчивости, построенной с помощью модифицированного критерия Гурвица.