Построение ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы и определение запасов устойчивости замкнутой системы

Построение ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы можно проводить ручным и машинным способом.

Для использования ручного способа построения асимптотической ЛАХ и ЛФХ необходимо, чтобы исходная передаточная функция была представлена в стандартном виде, т.е. в виде произведения типовых звеньев. При необходимости приведение к стандартному виду произвольной передаточной функции можно проводить с помощью функции zpk. Например, для передаточной функции

при выполнении командной строки

> > W=tf([3 6 2], [200 10 3 0]), W1=zpk(W)

Transfer function:

3 s^2 + 6 s + 2

----------------------

200 s^3 + 10 s^2 + 3 s

Zero/pole/gain:

0.015 (s+1.577) (s+0.4226)

--------------------------

s (s^2 + 0.05s + 0.015)

исходная передаточная функция представлена в виде Zero/pole/gain, т.е. в виде произведения типовых звеньев, у которых свободные члены отличны от единицы. Для приведения передаточной функции к стандартному виду необходимо свободные члены вынести за скобки.

Ручной способ построения асимптотической ЛАХ и ЛФХ по передаточной функции разомкнутой системы проводится в следующей последовательности:

· исходная передаточная функция представляется в стандартном виде:

,

где – коэффициент усиления разомкнутой системы; , ; порядок полинома числителя не превышает порядка знаменателя , что соответствует физически реализуемым системам;

· определяется значение ;

· определяются сопрягающие частоты , вычисляются ;

· строится асимптотическая ЛАХ:

через точку проводится слева направо прямая с наклоном дБ/дек до первой слева сопрягающей частоты, где – число интегрирующих звеньев в передаточной функции (если , то прямая проводится параллельно оси частот; если вместо интегрирующих звеньев присутствуют дифференцирующих звеньев, то следует принять и наклон асимптоты будет положительным);

в сопрягающей частоте ЛАХ терпит излом относительно предыдущего участка на дБ/дек или дБ/дек. Если сопрягающей частоте соответствует звено первого порядка, то излом составляет дБ/дек, для звена второго порядка (с комплексно-сопряженными корнями) соответственно дБ/дек. Знак " +" соответствует звеньям, расположенных в числителе, а знак " –" в знаменателе передаточной функции;

далее проводится прямая до следующей сопрягающей частоты, в которой ЛАХ терпит излом аналогично предыдущему;

в области высоких частот ЛАХ уходит в бесконечность с наклоном дБ/дек, где – порядок числителя, – порядок знаменателя передаточной функции.

· строится ЛФХ в виде суммы ЛФХ типовых звеньев, входящих в передаточную функцию, при этом в области низких частот ЛФХ начинается со значения рад, а в области высоких частот ЛФХ стремится к значению рад.

При ручном способе построения ЛАХ и ЛФХ следует использовать масштаб: по оси ординат 20 дБ - 40 мм и I град - I мм; по оси частот 1 дек - 100 мм. При построении ЛФХ воспользоваться шаблонами ЛФХ апериодического и колебательного звена с заданным коэффициентом затухания, построенных с помощью таблиц [1] и вырезанных из ватмана.

При машинном способе построения с использованием системы MATLAB строится точная ЛАХ, на которую следует нанести график асимптотической ЛАХ, которая в дальнейшем используется для синтеза последовательного корректи­рующего устройства.

Рассмотрим машинный способ построение ЛАХ и ЛФХ с помощью системы MATLAB для рассмотренной выше передаточной функции разомкнутой системы схемы А:

,

для принятых параметров ; ; ; ; ; .

Воспользуемся вспомогательной программой, составленной в Script-файле:

% передаточная функция разомкнутой системы

Wpas=75.5*tf([0.4 1], [0.04 1])*tf([1], [0.2 1])*tf([1], [0.96 1])*tf([1], [0.38 1]);

% сопрягающие частоты

omega=[0.1 1/0.96 1/0.4 1/0.38 1/0.2 1/0.04 1/0.001];

% построение ЛАХ и ЛФХ, запасов устойчивости по амплитуде и фазе

margin(Wpas); grid on; figure

% построение асимптотическая ЛАХ в заданной области частот по передаточной функции

L1=20*log10(75.5); L2=20*log10(75.5); L3=L2-20*log10(0.96/0.4);

L4=L3; L5=L4-20*log10(0.38/0.2); L6=L5-40*log10(0.2/0.04); L7=L6-60*log10(0.04/0.001);

L=[L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7]; semilogx(omega, L); grid on; hold on

% точная ЛАХ для сравнения

[Lg, f, w]=bode(Wpas, {0.1, 1000}); Lg1=20*log10(squeeze(Lg)); semilogx(w, Lg1, '--')

Приведенный текст программы можно скопировать и вставить в рабочее поле m-file, которое открывается при нажатии левой верхней кнопки в среде MATLAB. Затем выполнить программу нажатием кнопки со стрелкой (Run) на панели инструментов m-file. При этом вычисленные переменные в Script-файле являются глобальными и доступны в любом другом Script-файле, а также в среде MATLAB.

Если программу оформить в виде m-файла с помощью оператора function, то переменные будут локальными в пределах данного m-файла.

В результате выполнения получим графики представленные на рис. 17, рис.18.

Рис. 17

Рис. 18

Согласно критерию Найквиста для устойчивости замкнутой отрицательной единичной обратной связью физически реализуемой разомкнутой системы с передаточной функцией , необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ охватывала точку с учетом знака в сумме раз, где число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы . При этом следует считать, что при наличии нулевых корней уравнения характеристика при дополняется дугой бесконечно большого радиуса с раствором угла , т.е. начинается на вещественной положительной полуоси с бесконечно большого значения. Положительный охват соответствует повороту радиус-вектора относительно точки на угол против часовой стрелки (по часовой стрелке – отрицательный охват). Принятые знаки поворота радиус-вектора объясняются тем, что углу , отложенному от вещественной положительной полуоси, в первом квадранте соответствует и, следовательно, , а в четвертом квадранте и, следовательно, .

Подсчет охватов удобно проводить с помощью правила Цыпкина, согласно которому сумма охватов точки равна сумме переходов с учетом знака вещественной полуоси в соответствии с рис. 19, на котором показаны возможные случаи переходов вещественной полуоси . Если АФЧХ касается вещественной полуоси , то это эквивалентно тому, что она совершает два полуперехода с обратными знаками, в сумме равных нулю.

При прохождении АФЧХ через точку замкнутая система имеет пару чисто мнимых корней. Это следует из условия , которому соответствует уравнение

,

где характеристическое уравнение замкнутой системы имеет пару мнимых корней при некотором значении .

Логарифмический аналог критерия Найквиста устанавливается с учетом связи АФЧХ и ЛАХ и ЛФХ передаточной функции . Критерий устойчивости формулируется следующим образом: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы в области частот , соответствующих положительным значениям , сумма переходов ЛФХ через линии с учетом знаков (положительный – снизу вверх, отрицательными – сверху вниз и т.д.) равнялась , где – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы .

Пересечение ЛФХ линий соответствует точкам, принадлежащим вещественной полуоси плоскости АФЧХ. В большинстве случаев, в том числе для рассматриваемых схем САУ, ЛФХпересекает только одну линию .

На рис. 17 представлены точные ЛАХ и ЛФХ с указанными значениями запасов устойчивости по амплитуде: (при частоте 12, 7 рад/с) и фазе град (при частоте 18 рад/с).

На рис. 18 представлена асимптотическая ЛАХ (и точная ЛАХ для сравнения), которая может быть использована в дальнейшем для синтеза последовательной коррекции.

Графики рис. 17, рис. 18 следует представлять в наибольшем масштабе (растянуть и отредактировать график аналогично предыдущему) и вставлять в текст документа Word, выбирая параметры данной страницы " альбомная".

В соответствии с логарифмическим аналогом критерия Найквиста замкнутая система неустойчива. Для устойчивой замкнутой системы значения должны быть положительными.

Критический коэффициент усиления разомкнутой системы , при котором замкнутая система с отрицательной единичной обратной связью находится на границе устойчивости, определяется согласно критерию Найквиста из условия

,

при этом .

Значение критической частоты можно найти с помощью ЛФХ из условия град, при этом для критического коэффициент усиления выполняется равенство , что может быть использовано при графическом определении по ЛАХ и ЛФХ.

Для минимально-фазовых передаточных функций условие соответствует границе колебательной устойчивости.

Для рис. 14 при уточненном значении 12, 6518 рад/с вычисление осуществляется с помощью командной строки

> > Kpas=75.5; Kkp=Kpas/abs(freqresp(Wpas, [12.6518]))

В результате получим значение Kkp =35.3756 равное значению, найденному с помощью метода D – разбиения.

Для проверки правильности полученного результата можно также построить годографы движения корней характеристического уравнения замкнутой системы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы с помощью командной строки

> > WKpas=Wpas/Kpas; rlocus(WKpas);

Результат вычислений представлен на рис. 19. С помощью левой клавиши мыши отметить точку пересечения одной из ветвей годографа с мнимой осью комплексной плоскости корней и не отпуская клавишу подвигать точку в левую и правую сторону. При этом в открывшемся окне будут указаны значения коэффициента усиления и соответствующие ему корни (полюса). Так, например, на рис. 19 видно, что при коэффициенте в замкнутой системе все корни устойчивые из них одна пара комплексно-сопряженных корней ; при , пара комплексно-сопряженных корней становится неустойчивой: .

Таким образом, при замкнутая система находится на границе колебательной устойчивости и при становится неустойчивой.

Вычислить корни характеристического уравнения замкнутой системы при выбранном коэффициенте усиления можно с помощью командной строки

> > Kkp=35.3756; p=esort(tzero(1+Kkp*Wpas/Kpas))

Рис. 19

в результате выполнения которой получим

p =

-0.0000 +12.6518i

-0.0000 -12.6518i

-2.4977

-31.1754