Определение параметров автоколебаний

После синтеза корректирующего устройства необходимо исследовать динамику замкнутой системы при учете нелинейностей функциональных элементов. Наличие нелинейных элементов в системе может привести к потере устойчивости системы или к возникновению незатухающих периодических движений, которые называются автоколебаниями.

Тем самым, нелинейности функциональных элементов могут приводить к ухудшению качества переходных процессов и снижению точности системы.

Целью исследования условий возникновения автоколебаний и определения их параметров (амплитуды и частоты) является оценка точности системы и при необходимости синтез вспомогательной коррекции для исключения автоколебаний или обеспечения заданной точности.

Здесь приняты обозначения: – входной сигнал; – условный выход системы; – рассогласование; – нелинейная функция; – желаемая передаточная функция разомкнутой системы найденная в подразделе 3.8. На рис. 39 параметры нелинейности принимаются заданными; на рис. 40 параметр нелинейного элемента № 4 следует увеличить в раз.

При функционировании системы возможны режимы: первый – отработка начальных отклонений системы при отсутствии входного воздействия; второй – отработка входного воздействия при различных начальных отклонениях. Здесь при устойчивом функционировании замкнутой системы, когда переходные процессы ограничены, возможны случаи: в первом режиме автоколебания отсутствуют, при этом они могут возникнуть во втором режиме и наоборот; автоколебания могут отсутствовать или возникать в каждом режиме.

Рассмотрим первый режим, полагая в схемах рис. 39, рис.40 сигнал .

Для определения параметров автоколебаний и исследования их устойчивости можно использовать аналитический или графоаналитический способы, рассмотренные в [2, с.359-367; 4, с.256-259; 9, с.15-21, 19, с.81-86]. Учитывая сложность аналитических вычислений для систем высокого порядка, рассмотрим графо-аналитический способ определения параметров автоколебаний и исследование их устойчивости с использованием критерия Найквиста.

С учетом гипотезы существования в замкнутой системе периодических колебаний близких к гармоническим , где – амплитуда и – частота предполагаемых автоколебаний (параметры автоколебаний), по виду нелинейного элемента заменяем его нелинейную характеристику передаточной функцией

.

где , – коэффициенты гармонической линеаризации.

Тогда передаточная функция разомкнутой системы, охваченная отрицательной обратной связью для структурных схем рис. 39, рис. 40, имеет вид:

.

При этом характеристическое уравнение замкнутой системы определяется из уравнения

и с учетом выражения имеет вид:

.

Для существования гармонических незатухающих колебаний с частотой необходимо, чтобы характеристическое уравнение имело левые корни и пару комплексно-сопряженных чисто мнимых корней . Полагая , с учетом выражения найдем уравнение для определения амплитуды и частоты возможных автоколебаний:

или

при , для найденного решения.

Для определения параметров автоколебаний воспользуемся первым уравнением, которое перепишем в виде:

.

Здесь параметры автоколебаний и определяются при равенстве левой и правой части уравнения, т.е. при пересечении графиков функций и , построенных на комплексной плоскости при изменении и , где – параметр нелинейного элемента.

При наличии автоколебаний для найденной частоты необходимо проверить условие фильтра линейной части с передаточной функцией в виде неравенства:

,

Здесь в зависимости от того насколько левая часть в неравенстве больше правой настолько возрастает точность гармонической линеаризации нелинейного элемента.

Проверку условия фильтра можно проводить по виду ЛАХ , которая в соответствии с методикой синтеза в большинстве случаев убывает при .

Найденные периодические решения, удовлетворяющие условию фильтра, могут быть устойчивыми (т.е. обладают свойством асимптотической орбитальной устойчивости) и неустойчивыми. Если периодическое решение устойчиво, то фазовые траектории стягиваются к предельному циклу, который разделяет фазовую плоскость на две области I и II (рис. 41) с качественно различным характером фазовых траекторий; если периодическое решение неустойчиво, то фазовые траектории удаляются от предельного цикла (в этом случае область II предельного цикла определяет область устойчивости положения равновесия).

Один из приближенных методов исследования устойчивости найденных периодических решений – метод вариации амплитуды и частоты на основе критерия Найквиста [9, с.18-21; 19, с.82-86].

Из критерия Найквиста для гармонически линеаризованной разомкнутой системы с передаточной функцией следует, что для устойчивости автоколебаний необходимо, чтобы годограф при изменении пересекал годограф изнутри наружу.

В таблице П.2 (Приложение Б) приведены выражения коэффициентов , передаточной функции для нелинейных элементов № 1-4.

Выражения нелинейных элементов таблицы П.2 удобно представить в зависимости от величины , которая изменяется в пределах . В таблице П.3 приведены указанные зависимости и графическое изображение характеристик с учетом заданных параметров нелинейностей , .

Если характеристика при изменении пересекает в некоторой точке при , то значение амплитуды возможных автоколебаний определяется по формуле .

Из таблицы П.3 следует, что для нелинейностей № 1, 2 независимо от величины параметра автоколебания в замкнутой системе отсутствуют, если АФЧХ не пересекает полуось ; для нелинейности № 3 – полуось . Для нелинейности № 4 в таблице П.3 приведена характеристика , пересечение с которой характеристики возможно даже в том случае, когда последняя не пересекает полуось .

Для построения графиков функций и можно воспользоваться следующим Script-файлом для рассмотренного выше примера и для нелинейности № 1:

%Желаемая передаточная функция

Wgpas=75.5*tf([1/3.06 1], [1/0.7 1])*tf([1], [1/0.7 1])...

*tf([1], [1/45.31 1])*tf([1], [1/45.31 1]);

figure(1); nyquist(Wgpas); hold on; % АФЧХ Wgpas(jw)

%Нелинейный элемент № 1

a=1: 0.1: 100;

q=1-2/pi*(asin(1./a)+(1./a).^2.*(a.^2-1).^0.5);

Wn1=-1./q+i*1e-20*a;

% Построение годографа -1/Wнэ(a)

plot(Wn1)

Результат построения приведен на рис. 42, из которого следует, что точки пересечения и (характеристика расположена на вещественной оси) отсутствуют, т.е. автоколебания в замкнутой системе не возникают.

Рис. 42

При этом АФЧХ пересекает вещественную ось при частоте со значением . Поэтому, если увеличить коэффициент усиления передаточной функции в раз, то получим пересечение указанных характеристик. Однако при этом автоколебания не возникают, поскольку характеристика при изменении пересекает АФЧХ извне вовнутрь, что соответствует неустойчивому предельному циклу. Это означает, что в некоторой области фазовые траектории стягиваются к началу координат, а за пределами данной области уходят в бесконечность. Тем самым замкнутая система устойчивая в большом и неустойчивая в целом.

В силу приближенности метода гармонической линеаризации даже при выполнении условия фильтра в некоторых случаях автоколебания для найденной частоты могут не возникать. Поэтому проверку наличия автоколебаний следует проводить путем моделирования замкнутой системы и исследованием ее на абсолютную устойчивость.

Для уточнения параметров автоколебаний необходимо провести моделирования замкнутой системы в соответствии со структурной схемой рис. 39 или рис. 40. Схема моделирования системы с передаточной функцией Wgpas , kne представлена на рис. 43, где на вход системы подается короткий исчезающий импульс для возбуждения автоколебаний такой, чтобы переходной процесс превысил значение параметр . Другой способ возбуждения автоколебаний связан с заданием начальных условий по координате .

Рис. 43

Моделирование системы следует провести для одного из значений , при котором возникают автоколебания, и при для исходной системы. Изменяя амплитуду входного импульса добиться возникновения автоколебаний или убедиться в их отсутствии.

Отметим, что ценность метода гармонической линеаризации состоит в том, что с его помощью удается сформировать условия на вид АФЧХ , при которых автоколебания в замкнутой системе отсутствуют. Тем самым, при решении задачи синтеза последовательной коррекции необходимо учитывать указанные условия.