![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Применение дифференциального исчисления функций многих переменных в термодинамике
Переменные параметры состояния, входящие в уравнения термодинамики, могут быть функционально связаны друг с другом. Это приводит к необходимости использования методов теории дифференциальных уравнений. Из анализа частных производных, содержащихся в дифференциальных уравнениях термодинамики, можно установить их физический смысл, а в результате и направление физического процесса. Уравнения первого закона термодинамики вида
относятся в математике к классу так называемых функций Пфаффа от двух переменных величин. Общий вид этих функций
для двух и для n независимых переменных. Здесь x 1, x 2, x 3, … x n - независимые переменные, а М(х, у), N(х, у), Х 1, Х 2, Х 3, …, Хn - функции этих переменных. Например, для случая, когда независимыми переменными являются давление р и удельный объем v известно, что энтальпия i является функцией р и v (i = f(p, v)). Это означает, что в некоторой точке с параметрами р и v будем иметь определенное значение функции i. В то же время, например, работа не является функцией этих же независимых переменных. Т.е. для каких-то определенных значений р и v нельзя указать, чему будет равна работа.
Такие функции в математике называются функциями точки, а в термодинамике - функциями состояния. Например, температура есть функция состояния таких независимых параметров, как давление и удельный объем. Это означает, что в любом состоянии, характеризуемом параметрами р и v, температура имеет вполне определенное значение, т.е. функция T=f(p, v) существует. Второй вид функций Пфаффа - d Ф не является полным дифференциалом
Функции Пфаффа второго вида в математике называются функциями линии, а в термодинамике функциями процесса. Полный дифференциал функции Ф записывается в виде
Покажем, что если (2.30) полный дифференциал, то выполняется равенство (2.28). Сравнивая (2.30) и (2.27), находим
После дифференцирования первого выражения из (2.31) по у, а второго - по х, получим
Из (2.32) получаем (2.28). Отсюда заключаем, что условие (2.28) является необходимым для существования полного дифференциала функции Ф(х, у). Очевидно, что оно будет также и достаточным условием, если частные производные функции Ф(х, у) непрерывны и в окрестности точки (х, у). В случае, когда d Ф есть полный дифференциал некоторой функции F (х, у), то значение интеграла от d Ф не зависит от пути интегрирования и определяется только начальными и конечными значениями параметров точек процесса (не зависит от пути перехода от начальной точки к конечной) Интегрируя, получим Интеграл, взятый по замкнутому контуру от некоторой функции, дифференциал которой является полным дифференциалом, равен нулю Отсюда следует обратное заключение - если интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то подинтегральная величина является полным дифференциалом некоторой функции переменных х и y. Ввиду того, что параметры термодинамической системы р, v, T, ее внутренняя энергия u и энтальпия i являются функциями состояния системы, то их дифференциалы являются полными дифференциалами. Функции Пфаффа второго вида могут быть проинтегрированы лишь в случае, если одна из независимых переменных становится функцией другой, т.е. если, например, y=f(x). Этой зависимостью описывается переход из одного состояния в другое. Соотношение (2.27) тогда можно привести к виду Результат интегрирования этого уравнения будет
Из числа уже рассмотренных выше термодинамических величин к функциям процесса относятся работа процесса l, располагаемая работа l0 и теплота процесса q. Эти величины в pv (l и l0) и Ts (q) координатах определяются площадью под кривой процесса и зависят от формы пути процесса. Дифференциалы этих величин не являются полными дифференциалами. В уравнениях первого закона термодинамики, записанных в дифференциальной форме, перед l, l0 и q сохраняется символ d, однако следует иметь в виду, что их дифференциалы не являются полными. В уравнение (2.25) первого закона термодинамики входит теплота q. Докажем, что теплота является функцией процесса. Для этой цели уравнение (2.25) приведем сначала к виду функции Пфаффа. Известно, что u и v являются функциями состояния. Следовательно, их дифференциалы будут полными дифференциалами. Тогда, рассматривая общий случай некоторых независимых параметров х и у, можно записать
Подставляя (2.33) и (2.34) в (2.25), получим или где
Дифференцируя (2.35) и (2.36) соответственно по у и по х, после некоторых преобразований получим Это выражение представляет собой детерминант Якоби (якобиан) Если вместо x и y подставлять значения параметров состояния для некоторых частных случаев, то можно убедиться, что при любом выборе параметров детерминант всегда не будет равен нулю. Следовательно, условие (2.28) не соблюдается, а это значит, что dq не является полным дифференциалом, и функция q не является функцией состояния. Однако из математики известно, что для пфаффовой формы (2.28) существует так называемый интегрирующий множитель µ =(х, у). Если пфаффову форму умножить на этот множитель, то снова получим полный дифференциал некоторой функции (доказательство см. в [15]). Так как теплота, в противоположность любому виду энергии, не является функцией состояния рабочего тела, то не следует вместо термина " теплота" применять термин " тепловая энергия". Точно так же ошибочно механическую работу называть механической энергией.
|