Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Интегрирование рациональных дробей
Определение. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов: (4) где и многочлены от степеней и соответственно. Рациональная дробь (4) называется правильной, если и неправильной, если . Определение. Простейшими рациональными дробями называют правильные рациональные дроби четырех типов: где a, p, q, A, M, N — действительные числа, При этом предполагается, что квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Простейшей дроби 1-го и 2-го типов интегрируются заменой . a 3-го типа — заменой (2). Интегрирование простейших дробей 4-го типа является громоздкими, и мы его рассматривать не будем. Теорема (о представлении рациональной дроби в виде суммы простейших дробей). Всякую правильную рациональную дробь можно представить, и потом единственным образом, в виде суммы простейших дробей типов 1) — 4). При этом каждому множителю в знаменателе вида будет соответствовать группа из n слагаемых вида , а каждому множителю в знаменателе вида — слагаемые . Постоянные , N 1, N 2, … называют неопределенными коэффициентами и находят по следующему алгоритму: 1) Сумму всех простейших дробей привести к общему знаменателю, который равен знаменателю дроби в левой части тождества. 2) Числитель получившейся дроби приравнять к числителю исходной дроби. 3) Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях многочленов в левой и правой частях полученного тождества. 4) Решить полученную систему уравнений, которая имеет единственное решение. Теорема (о представлении неправильной рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби). Всякую неправильную рациональную дробь можно разложить, и притом единственным образом, на сумму многочлена (целая часть) и правильной рациональной дроби ( «остаток» от деления на ): Итак, алгоритм интегрирования рациональных дробей: 1) Если подынтегральная дробь неправильная, то из неё выделяют целую часть , которая интегрируется непосредственно, и правильную рациональную дробь . 2) Правильную рациональную дробь раскладывают на сумму простейших дробей 1) — 4). 3) Простейшие дроби интегрируют по отдельности с помощью соответствующих замен переменных. Пример. Найти интегралы от рациональных дробей. а) б)
|