![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Интегрирование рациональных дробей
Определение. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:
где Рациональная дробь (4) называется правильной, если Определение. Простейшими рациональными дробями называют правильные рациональные дроби четырех типов: где a, p, q, A, M, N — действительные числа, При этом предполагается, что квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Простейшей дроби 1-го и 2-го типов интегрируются заменой Теорема (о представлении рациональной дроби в виде суммы простейших дробей). Всякую правильную рациональную дробь можно представить, и потом единственным образом, в виде суммы простейших дробей типов 1) — 4). При этом каждому множителю в знаменателе вида Постоянные 1) Сумму всех простейших дробей привести к общему знаменателю, который равен знаменателю дроби в левой части тождества. 2) Числитель получившейся дроби приравнять к числителю исходной дроби. 3) Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях 4) Решить полученную систему уравнений, которая имеет единственное решение. Теорема (о представлении неправильной рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби). Всякую неправильную рациональную дробь Итак, алгоритм интегрирования рациональных дробей: 1) Если подынтегральная дробь неправильная, то из неё выделяют целую часть 2) Правильную рациональную дробь 3) Простейшие дроби интегрируют по отдельности с помощью соответствующих замен переменных. Пример. Найти интегралы от рациональных дробей. а)
|