Гомоморфная обработка речи.

Одно из основных предположений состоит в том, что речевой сигнал трактуется как сигнал на выходе линейной системы с медленно изменяющимися параметрами. Это предположение позволяет считать, что на коротких сегментах речевой сигнал можно рассматривать как сигнал на вы­ходе линейной системы с постоянными параметрами, возбуждаемой либо последовательностью импульсов, либо случайным шумом.. Поскольку сигнал возбуждения и импульсная характеристика фильтра взаимодействуют через операцию свертки, задача анализа речи может рассматриваться как задача разделения компонент, участвующих в операции свертки. Такая задача иногда называется задачей обратной свертки.

Гомоморфные относительно свертки системы. Гомоморфные относительно свертки системы удовлетворяют обобщенному принципу суперпозиции. Принцип суперпозиции для линейных систем можно представить в виде следующих соотношений

(4.1)

(4.2)

где L – линейный оператор. Принцип суперпозиции устанавливает, что если сигнал на входе является линейной комбинацией элементарных сигналов, то и сигнал на выходе будет представлен в виде линейной комбинации соответствующих сигналов. Прямым следствием принципа суперпозиции является тот факт, что сигнал на выходе линейной системы может быть представлен в виде дискретной свертки:

(4.3)

где – импульсный отклик линейной системы.

Этот принцип иллюстрируется на рис. 4.1, где символ «+» на входе и выходе означает, что аддитивная комбинация сигналов на входе приво­дит к аддитивной комбинации выходных сигналов.

а) б)

Рис. 4.1. Представление линейной системы, для которой выполняется принцип суперпозиции (а)и гомоморфной относительно свертки (б)

Символ «*» означает свертку в дискретном времени. По аналогии с принципом суперпозиции для обычных линейных систем определим класс систем, удовлетворяющих обобщенному принципу суперпозиции, в котором сложение заменяется сверткой (легко показать, что свертка обладает такими же алгебраическими свойствами, как и сложение:

(4.4)

Системы, обладающие свойством (4.4), названы гомоморфными относительно свертки системами. Эта терминология объясняется тем, что данные преобразования оказываются гомоморфными преобразованиями линейного векторного пространства. При изображении таких систем (рис. 4.1, б) операцию свертки представляют в явном виде на входе и выходе системы. Гомоморфный фильтр является гомоморфной системой, обладающей тем свойством, что одна компонента (выделяемая) проходит через эту систему без изменений, а другая – устраняется. В соотношении (4.4), например, если – нежелательная компонента, то необходимо потребовать, чтобы выход, соответствующий , представлял собой единичный отсчет, в то время как выход, соответствующий , близко совпадал бы с .

Важным аспектом теории гомоморфных систем является то, что любая из них может быть представлена в виде каскадного соединения трех гомоморфных систем (4.2) для случая систем, гомоморфных относительно свертки. Первый блок преобразует компоненты на входе, представленные в виде свертки, в аддитивную сумму на выходе. Второй блок – обычная линейная система, удовлетворяющая принципам суперпозиции в соответствии с (4.1).

Рис. 4.2. Каноническая форма системы, гомоморфной относительно свертки

Третий блок является обратным первому, т. е. преобразует сигналы, представленные в виде суммы, в сигналы, представленные в виде свертки. Важность данного канонического представления заключается в том, что разработка гомоморфной системы сводится к разработке линейной системы. Блок, обозначаемый и называемый характеристическим блоком гомоморфной относительно свертки системы, фиксирован при каноническом представлении (рис. 4.2). Очевидно, что обратное преобразование также фиксировано. Характеристическая система для гомоморфной обратной свертки подчиняется обобщенному принципу суперпозиции, в котором операция на входе – свертка, а на выходе – обычное сложение. Свойства характеристической системы определяются выражением

(4.5)

Аналогично обратная характеристическая система удовлетворяет соотношению