ТСЕ – теорема существования и единственности.

Лекция 1.

Основные понятия.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.

Например,

x – независимая переменная;

y – зависимая переменная (функция от х, т.е y=y(x));

- производные у по х;

- дифференциалы.

Уравнение:

Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным д.у., если больше одной, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком д.у.

Например,

- обыкновенное д.у. первого порядка.

- обыкновенное д.у. второго порядка.

- обыкновенное д.у. третьего порядка.

- общий вид обыкновенно д.у. второго порядка.

- уравнение в частных производных первого порядка.

(здесь неизвестная функция двух независимых переменных )

Сейчас будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т.е. уравнения вида или если выразить производную: .

Решением д.у. называется такая дифференцируемая функция , которая при подстановке в исходное уравнение обращает его в тождество.

Процесс нахождение решения д.у. называется интегрированием д.у.

Общим решением д.у. первого порядка в области D называется функция , такая что:

1) Она является решением данного уравнения при любом значении постоянной С из некоторого множества.

2) Для любого начального условия : , существует единственное значение , при котором решение , удовлетворяет заданному начальному условию.

Частным решением д.у. называется решение, полученное из общего решения при конкретном значении .

Т.е.

- общее решение

- частное решение.

Задачей Коши для д.у. первого порядка называется задача отыскания частного решения этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию .

График решения д.у. называется интегральной кривой.

Т.о. общему решению соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от параметра С.

Частному решению , удовлетворяющему начальному условию , соответствует одна кривая, проходящая через точку .

Пример.

Интегральные кривые – семейство парабол.

При начальном условии (задача Коши) – частным решением будет одна парабола:

Частное решение

ТСЕ – теорема существования и единственности.

Если функция непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, то решение дифференциального уравнения при начальном условии существует и единственно.

Это значит, что задача Коши для этого уравнения имеет единственно решение и через точку проходит только одна интегральная кривая.

Особым решением д.у. называется, решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется.

Особое решение не входит в общее решение д.у. Т.е. его нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С.

Геометрически особым решением является огибающая семейства интегральных кривых, т.е. линия, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.

Например,

Общее решение уравнения или записывается в виде

. Это семейство интегральных кривых имеет две огибающих - особые решения.

Рассмотрим оду первого порядка.

Его решение – интегральная кривая . Проведем касательную к этой кривой. - угол наклона касательной. Тангенс угла наклона касательной равен производной .

Таким образом, угол наклона касательной к интегральной кривой определяется правой частью д.у.

Если в каждой точке (x, y) области D - области определения функции построить отрезки, составляющие с ОХ угол , такой что , то получим поле направлений для уравнения .

Изоклина – это кривая, на которой поле направлений постоянно (т.е. одинаковый угол ).

Пример.

Правая часть постоянна, т.е. - это окружности. Т.е. изоклинами являются окружности , .

Поле направлений на окружностях постоянно. Интегральная кривая касается отрезков из поля направлений.