Уравнения, приводящиеся к однородным

Найти общий интеграл дифференциального уравнения вида

. (1)

План решения.

Если , то уравнение (1) однородное. Пусть и (или одно из них) отличны от нуля.

1. Делаем замену переменных

, , (2)

тогда

.

2. Подставляя в уравнение (1) выражения , , и , будем иметь

. (3)

3. Подберем и так, чтобы выполнялись равенства:

(4)

т.е. определим и как решения системы уравнений (4). При этом условии уравнение (3) становится однородным:

.

Решив это уравнение и перейдя снова к и по формулам (2), получим решение уравнения (1).

Замечание 1. Система (4) не имеет решения, если

,

т.е. . Но в этом случае , т.е. и, следовательно, уравнение (1) можно преобразовать к виду

. (5)

Тогда подстановкой

(6)

уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными:

.

Замечание 2. Прием, примененный к интегрированию уравнения (1), применяется и к интегрированию уравнения

,

где – произвольная непрерывная функция.

Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

.

Замена: , . Тогда

.

Пусть

Тогда

или

.

Полагаем , откуда и . Тогда

Общее решение исходного уравнения:

.

Таблица производных

Таблица интегралов

Практика С разделяющимися:

1.1.	1.2.
1.3.	1.4.
1.5.	1.6.
1.7.	1.8.
1.9.	1.10.
1.11.	1.12.
1.13.	1.14.
1.15.	1.16.
1.17.	1.18.
1.19.	1.20.
1.21.	1.22.
1.23.	1.24.
1.25.	1.26.
1.27.	1.28.
1.29.	1.30.

Практика Однородные:

.1.	2.2.
2.3.	2.4.
2.5.	2.6.
2.7.	2.8.
2.9.	2.10.
2.11.	2.12.
2.13.	2.14.
2.15.	2.16.
2.17.	2.18.
2.19.	2.20.
2.21.	2.22.
2.23.	2.24.
2.25.	2.26.
2.27.	2.28.
2.29.	2.30.

Практика Сводящиеся к однородным:

	3.2.
3.3.	3.4.
3.5.	3.6.
3.7.	3.8.
3.9.	3.10.
3.11.	3.12.
3.13.	3.14.
3.15.	3.16.
3.17.	3.18.
3.19.	3.20.
3.21.	3.22.
3.23.	3.24.
3.25.	3.26.
3.27.	3.28.
3.29.	3.30.