Уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение

(1)

Называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть равенства (1) представляет собой полный дифференциал некоторой функции .

Т.е. , тогда

Если уравнение (1) в полных дифференциалах, то оно имеет вид , следовательно, его решение .

Рассмотрим уравнение (1):

, где

Продифференцируем первое по у, второе по х:

, т.е.

Получим необходимое условие того, что уравнение (1) – в полных дифференциалах.

(2).

Найдем функцию :

проинтегрируем по х:

, где

- неизвестная функция, которую предстоит найти.

Т.к. уравнение в полных дифференциалах, то должно выполняться:

находится из условия:

Далее интегрируем функцию , чтобы найти .

Пример:

- следовательно, это уравнение в полных дифференциалах.

Дифференцируем по у:

. Это должно быть равно Q.

интегрируем:

Ответ: .