Выборочные характеристики статистического распределения

Одной из основных характеристик статистических распределений является выборочная средняя , которая характеризует типичное для выборки значение признака. Если данные сгруппированы, то (взвешенная средняя арифметическая).

Если данные не сгруппированы, то (средняя арифметическая).

Кроме рассмотренной средней арифметической для статистических распределений используют еще структурные (порядковые) средние. К ним относятся мода и медиана.

Мода - это значение признака, которому соответствует наибольшая частота (наиболее часто встречающееся значение признака Х)

Медиана - это значение признака, делящее ранжированный вариационный ряд на две равные по численности группы.

Если n – четное число, т. е. n=2k, то .

Если n – нечетное число, т. е. n=2k+1, то

Если в результате вычислений , то распределение признака Х симметричное. Если хотя бы одно из этих равенств нарушается, то распределение асимметричное.

Перечисленные средние, чаще всего, дополняются характеристиками вариации (колеблемости или рассеяния).

Самую грубую оценку рассеяния значений признака дает размах вариации .

.Для оценки колеблемости значений признака относительно средней чаще всего используется выборочная дисперсия - это выборочная средняя арифметическая квадратов отклонений значений признака Х от выборочной средней , то есть

Дисперсия может быть рассчитана двумя способами:

1. Если данные наблюдения сгруппированы, то ,

если данные не сгруппированы, то

2. , где , если данные сгруппированы, и

, если данные не сгруппированы.

Дисперсия дополняется средним квадратическим отклонением и коэффициентом вариации

Выборочное среднее квадратическое отклонение есть арифметический квадратный корень из дисперсии

.

Оно показывает, на сколько каждое значение признака Х отклоняется от его среднего значения в среднем. Среднее квадратическое отклонение имеет те же единицы измерения, что и сам признак Х.

Коэффициент вариации применяют для сравнения признаков, имеющих разные единицы измерения. Он равен процентному отношению среднего квадратического отклонения к выборочной средней, то есть

.

Если < 33%, то рассматриваемая совокупность однородная, в противном случае – неоднородная.

Все вышеперечисленные формулы могут быть применены только для дискретных рядов. Поэтому, чтобы считать выборочные характеристики для интервальных рядов, нужно заменить каждый частичный интервал его серединой . Таким образом, интервальный ряд заменяется дискретным, соответствующим ему приближенно.