Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Условные законы распределения и условные числовые характеристики
|
|
Известно, что, если случайные события А и В зависимы, то условная вероятность события А отличается от его безусловной вероятности. В этом случае
.
Аналогичное положение имеет место и для СВ.
Пусть 
и 
- зависимые СВ, 
- их совместная ФР. Если известно, что СВ уже приняла некоторое значение y, то ЗР СВ при этом условии не будет совпадать с ее безусловным ЗР. Он называется условным законом распределения (УЗР) СВ при условии, что 
, и, заданный для всех возможных значений y СВ , полностью определяет зависимость между СВ и .
Исчерпывающей характеристикой УЗР СВ при условии, что , является условная ФР 
(УФР) СВ при условии, что , которую естественно было бы определить как
. (3.12)
Следует отметить, что это определение не имеет смысла, если 
, что имеет место всегда, когда - НСВ. Тем не менее, в дискретном случае определением (3.12) можно вполне пользоваться.
Пусть 
- 
, 
- его возможные значения, 
- вероятности значений, 
, 
, 
(случай счетного числа значений рассмотреть самостоятельно). Тогда все УЗР СВ при условии, что 
, 
, являются дискретными и согласно определению условной вероятности имеем:
.
Дискретные УЗР удобнее задавать не УФР 
, а совокупностью условных вероятностей 
, заданных при каждом 
:
и записывать в виде таблицы:
|
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
|
Очевидно, что при этом выполняется условие нормировки:
.
Аналогичны выражения для УФР 
, условных вероятностей 
и дискретного УЗР СВ при условии, что 
:
;
;
|
| 
| 
|
| 
|
| 
| 
|
| 
|
Для вероятностей в последней таблице также выполняется условие нормировки:
.
Рассмотрим теперь непрерывный случайный вектор . Так как в этом случае при любом 
, то определение (3.12) условной функции распределения случайной величины при условии, что , неприменимо. Для непрерывных случайных величин и условную функцию распределения определяют следующим образом:
.
Вероятность, стоящая под знаком
предела, представляет собой
вероятность попадания непрерывного
случайного вектора в полосу.
В соответствии с определением условной вероятности и свойствами двумерной ФР имеем:
.
Если последний предел существует, то он равен
.
Учитывая, что у 
существует ПВ 
и 
, а также, что у СВ существует ПВ 
и 
, для УФР получаем выражение:
(3.13)
в точках непрерывности функций и .
Условная ПВ 
(УПВ) СВ при условии, что , по аналогии с одномерным случаем определяется как производная по х от УФР :
в точках, где УПВ непрерывна.
Из (3.13) следует, что
(3.14)
(при этом полагается, что 
, если 
).
Аналогичные выражения имеют место для УФР 
и УПВ 
СВ при условии, что 
:
; (3.15)
в точках, где УПВ непрерывна;
(3.16)
(при этом полагается, что 
, если 
).
Как и любая ПВ, УПВ обладают свойствами:
При фиксированном y
; 
(условие нормировки);
При фиксированном х
; 
(условие нормировки).
Формулы (3.14) и (3.16) дают выражения для УПВ через безусловные, их также можно записать в виде:
Полученная формула есть правило умножения ПВ, которая является обобщением известного правила умножения вероятностей.
Для СВ в терминах ПВ имеют место также аналоги формулы полной вероятности и формулы Байеса:
;
(в последней формуле 
- априорная ПВ, а 
- апостериорная ПВ).
Используя понятие УЗР, получаем еще одно эквивалентное определение независимости СВ.
Для независимости СВ и необходимо и достаточно, чтобы УЗР одной из СВ относительно другой совпадали с безусловными (аналог равенств 
):
, 
;
, 
;
, 
.
Кратко о многомерном случае. Здесь возникает дополнительная возможность рассмотрения УЗР одной группы координат 
относительно другой. Но при этом определения полностью аналогичны.
Так, например, УПВ «отрезка» 
вектора 
при условии, что СВ 
приняли определенные значения 
, задается формулой:
.
Условные числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсия) определяются и находятся также, как и безусловные, только в формулах для их вычисления следует безусловные законы распределения заменить на условные.
Если - 
, то условным математическим ожиданием СВ при условии, что , называется величина
а условным математическим ожиданием СВ при условии, что , - величина
Если - , то условные математические ожидания СВ при условии, что , и СВ при условии, что , определяются формулами:
;
.
Аналогичные формулы имеют место и для условных дисперсий.
Если - , то
;
.
Если - , то
;
.
Отметим, что, если безусловные МО и дисперсия являются числами, то условные МО и дисперсия есть функции условия. Функцию 
называют также функцией регрессии на , а функцию 
- функцией регрессии на .