Числовые характеристики случайных векторов

Рассмотрим вначале двумерный .

Прежде, чем приводить соответствующие определения, сформулируем обобщение основной теоремы о математическом ожидании (ОТМО) на случай функции двух переменных .

Теорема (обобщение ОТМО на двумерный случай).

Пусть - некоторый , ЗР которого известен, - неслучайная функция, область определения которой содержит множество возможных значений , - СВ, являющаяся функцией двух случайных аргументов.

1. Если - , принимающий значения с вероятностями , и ряд сходится, то у СВ существует МО и

.

2. Если - с ПВ и несобственный интеграл сходится, то у СВ существует МО и

.

Заметим, что приведенная теорема очевидным образом обобщается и на случай функции переменных .

Теперь перейдем к рассмотрению числовых характеристик (ЧХ).

Основными ЧХ двумерного являются:

· математическое ожидание - вектор, координатами которого являются математические ожидания СВ и (характеризует координаты средней точки, около которой группируются другие значения вектора );

· дисперсия - вектор, координатами которого являются дисперсии СВ и (характеризует степень разброса (рассеивания) значений вектора около его среднего значения );

· корреляционный момент СВ и - МО произведения отклонений этих СВ относительно их МО:

. (3.17)

Как будет показано далее, корреляционный момент характеризует степень линейной зависимости между СВ и .

Для корреляционного момента справедливо также следующее выражение:

.

Таким образом, наряду с (3.12),

. (3.18)

Корреляционный момент обладает следующими двумя очевидными свойствами:

1. ;

2. .

Благодаря этим свойствам, вектор дисперсий можно не рассматривать как самостоятельную ЧХ, а использовать объединенную характеристику – корреляционную матрицу, элементами которой являются всевозможные корреляционные моменты:

.

Таким образом, можно считать, что имеет две основные ЧХ:

· математическое ожидание ;

· корреляционную матрицу .

Математические ожидания и дисперсии координат могут быть вычислены как по двумерному ЗР с помощью обобщения ОТМО, так и по обычным формулам через одномерные ЗР СВ и .

Так, если - , то при имеем:

, где ,

а при или

, где .

Аналогичны выражения для и (написать самостоятельно).

Корреляционный момент вычисляется с помощью обобщения ОТМО, когда функция или и только по двумерному закону распределения:

если - , то

;

если - , то

.