Дискретные случайные величины

ГЛАВА 8. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Дискретные случайные величины

Определение 1. Величину называют случайной, если в результате испытания она принимает лишь одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин.

Каждой случайной величине соответствует множество чисел — это множество значений, которые она может принимать. Например, число мальчиков среди 100 новорожденных — это случайная величина, которая может принимать значения от 0 до 100. Далее будем обозначать случайные величины прописными буквами, а их возможные значения — строчными буквами; например, случайная величина Х имеет два возможных значения и . Другой пример: случайная величина Y принимает возможные значения, принадлежащие интервалу (а, b). Различают два вида случайных величин.

Определение 2. Случайная величина, принимающая отдельные возможные значения с определенными вероятностями, называется дискретной случайной величиной.

Определение 3. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка.

Определение 4. Соответствие между отдельными возможными значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Как и в случае функциональной зависимости, этот закон можно задать таблицей, аналитически (формулой) и графически. В случае табличного задания закона распределения дискретной случайной величины соответствующая таблица состоит из двух строк — первая указывает возможные значения, а вторая — их вероятности:

Поскольку в одном испытании случайная величина принимает только одно возможное значение, то события Х = х ₁, Х = х ₂, …, Х = x_п образуют полную группу, т.е. сумма их вероятностей равна единице:

Если множество возможных значений Х дискретной слу­чайной величины бесконечно, то соответствующий ряд веро­ятностей сходится и его сумма равна единице:

Пример. Вероятностный прогноз для величины Х — процентного изменения стоимости акций по отношению к их текущему курсу в течение шести месяцев — дан в виде закона распределения:

Найти вероятность того, что покупка акций будет более выгодна, чем помещение денег на банковский депозит под 36% годовых.

Решение. Прирост суммы на банковском депозите при условии 3% в месяц составит через 6 месяцев . Вероятность того, что покупка акций выгоднее банковского депозита, определяется суммой вероятностей, соответствующих более высокому росту курса акций:

Биномиальное распределение. Пусть производится п независимых испытаний и в каждом из них событие А может либо появиться, либо не появиться. Пусть также вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна. В качестве дискретной случайной величины Х рассмотрим число появления события А в этих п испытаниях. Очевидно, что x ₁ = 0, x ₂ = 1, x ₃ = 2,..., x_{n+ 1} = n. Вероятности этих возможных значений k даются фор­мулой Бернулли:

, (1)

где — вероятность противоположного события (непоявление события А в одном испытании). Формула (9.1) представляет собой аналитическую форму закона распределения случайной величины (числа появления события А в n независимых испытаниях), которое называется биномиальным. Этот закон получил свое название потому, что правая часть в (9.1) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона.

Можно показать, что сумма всех вероятностей второй строки этой таблицы равна единице, т.е.

,

Пример. Банк выдает 5 кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0, 2 для каждого из заемщиков. Составить таблицу закона распределения количества заемщиков, не вер­нувших кредит по окончании срока кредитования.

Решение. Примем за А событие невозврата кредита. Так как заемщики действуют независимо, то выдачу 5 кредитов можно считать за 5 независимых событий. Вероятность невозврата k кредитов из 5 описывается биномиальным распределением (4.4), где , k принимает значения от нуля до 5. Придавая последовательности в формуле (3.4) k значений от нуля до 5 и используя формулы для расчета , получаем:

Распределение Пуассона. Пусть в каждом из п производимых испытаний вероятность появления события А равна р. Для случая малых значений р и больших значений п используется асимптотическая формула Пуассона. Эта формула выведена при важном допущении, что произведение пр является постоянной величиной, т.е. пр = λ. Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно k раз, дается формулой, которая представляет собой закон распределения Пуассона вероятностей массовых и редких событий:

Пример. На базу отправлено 10 000 изделий. Вероятность того, что изделие в пути получит повреждение, равна 0, 0003. Найти вероятность того, что на базу прибудут 4 поврежденных изделия.

Решение. По условию задачи п = 10 000, р = 0, 0003, k = 4. Находим А, а затем по формуле (9.5) и искомую вероятность:

Установленный закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто используются числовые характеристики случайной величины, которые дают некоторое осредненное описание случайной величины, получаемое на базе закона ее распределения.