Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения вероятности

Функция и плотность распределения вероятности. Пусть Х — непрерывная случайная величина, значения которой сплошь заполняют интервал (а, b).

Определение 11. Функцией распределения случайной величи­ны Х называется функция , определяющая вероятность того, что Х примет значение, меньшее х:

(13)

Функция распределения обладает рядом фундаментальных свойств.

Свойство 1. Область значений функции распределения лежит на отрезке [0, 1]:

Свойство 2. Функция распределения является неубывающей, т.е.

при

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины находятся на интервале , то при и при .

Из указанных свойств вытекают важные следствия.

1. Вероятность того, что случайная величина Х принимает значения, заключенные внутри интервала , равна разности значений функции распределения на концах этого интервала:

(14)

2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

3. Если возможные значения непрерывной случайной величины Х расположены на всей числовой оси, то

График функции распределения непрерывной случайной величины показан на рис. 9.1.

Рис. 9.1 График функции распределение непрерывной случайной величины

Определение 12. Производная от функции распределения не­прерывной случайной величины Х называется плотностью распределения вероятностей X:

(15)

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения или неопределенным интегралом от нее. Отсюда справедливо равенство

(16)

Связь между функцией распределения и плотностью распределения вероятностей устанавливается, формулой

(17)

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1.

2.

Последнее равенство означает достоверность события, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу , т.е. вероятность этого события .

Так, если все возможные значения случайной величины Х лежат внутри интервала , то

(18)

Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Определения числовых характеристик дискретных случайных величин распространяются и на непрерывные величины. Разница состоит в том, что вместо сумм в формулах для математического ожидания и дисперсии берутся их интегральные аналоги. Формулы для математического ожидания и дисперсии имеют вид:

(19)

В том случае, когда возможные значения случайной величины Х заполняют всю ось Ох, пределы интегрирования а и b бесконечны: . Возможны также случаи, когда один из пределов интегрирования бесконечен (возможные значения Х лежат на полупрямой).

Среднеквадратичное отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и прежде, по формуле

Как и для дискретных случайных величин для вычисления дисперсии употребляется более удобная формула

(20)

Пример. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение случайной величины X, заданной плотностью распределения на отрезке [0, 1]:

Решение. Согласно приведенным формулам последовательно вычисляем искомые величины:

9.3.