Математическое ожидание дискретной случайной величины. Пусть случайная величина Х может принимать значения x1, x2, . , xn c вероятностями соответственно p1, p2, …, pn.

Определение 5. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

(3)

Из этого определения следует, что математическое ожи­дание есть некоторая постоянная (неслучайная) величина. Вероятностный же смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно равно (в особенности для большого числа испытаний) среднему арифметическому значений случайной величины. Это хорошо видно в случае, когда вероятности всех возможных значений дискретной случайной величины равны: в формуле (9.3).

Пример. Найти математическое ожидание числа невозврата кредитов по данным примера 2.

Решение. Воспользуемся итоговой таблицей распределения дискретной случайной величины, полученной в этом примере, и формулой (9.3), находим

Математическое ожидание обладает рядом свойств, которые указаны ниже.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Свойство 4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Пример. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в некотором автосалоне составляют в среднем 100 тыс. р., а число продаж Х автомашин в течение дня подчиняется следующему закону распределения:

Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при цене на машину 150 тыс. р.

Решение. Ежедневная прибыль подсчитывается по формуле

.

Искомая характеристика М (П) находится с использованием указанных выше свойств математического ожидания (в тыс. р.):