Дисперсия дискретной случайной величины.

Определение 6. Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением:

Определение 7. Математическое ожидание квадрата откло­нения называется дисперсией, или рассеянием:

(4)

Формула дисперсии в развернутом виде:

При вычислении дисперсии часто бывает удобно воспользоваться формулой, которая непосредственно выводится из последней формулы:

(5)

Пример. Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным примера 5.

Решение. Закон распределения случайной величины имеет вид

Математическое ожидание подсчитывается из этой таблицы:

Математическое ожидание . Следовательно, согласно формуле (9.5), получаем искомую величину дисперсии:

Приведем здесь основные свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Перечисленные свойства дисперсии используются при вычислениях, когда мы имеем дело с несколькими случайными величинами. Из свойств 1 и 3 следует важный вывод: , где С — постоянная величина. Кроме того дисперсия числа появления события А в n независимых испытаниях с вероятностью появления р в каждом из них этого события вычисляется по формуле

Приведем здесь еще два важных результата: для случайной величины, распределенной по закону Пуассона, математическое ожидание и дисперсия равны параметру данного распределения.

Пример. Банк выдал ссуды п разным заемщикам в размере S р. каждому под ставку ссудного процента r. Найти математическое ожидание и дисперсию прибыли банка, а также условие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата ссуды заемщиком равна р.

Решение. Поскольку заемщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем п независимых испытаний. Вероятность утери ссуды для банка в каждом испытании равна . Пусть Х — число заемщиков, возвративших ссуду с ссудным процентом, тогда прибыль банка определяется формулой

Величина Х является случайной величиной с биномиальным законом распределения. Тогда, математическое ожидание прибыли определяется:

Поскольку выдача ссуды имеет смысл лишь при положитель­ном математическом ожидании прибыли (положительная сред­няя величина прибыли), то из условия вытекает условие на ставку ссудного процента:

или

Дисперсия прибыли банка находится, согласно (9.6) и свойств 1-3:

Среднеквадратичное отклонение и коэффициент корреляции. Среднеквадратичным отклонением случайной величины Х (стандартом) называется квадратный корень из ее дисперсии:

Согласно этому определению, из свойства 3 следует, что в случае суммы взаимно независимых случайных величин справедлива формула

Пример. В условиях примера 7 найти математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение прибыли при тыс. р. и r = 30%.

Решение. Ставка ссудного процента удовлетворяет условию, чтобы математическое ожидание прибыли было положительным: Математическое ожидание прибыли:

млн. ден.ед.

Среднеквадратичное отклонение прибыли:

тыс. ден.ед.

Определение 8. Корреляционным моментом случайных величин Х и Y (или ковариацией) называется математическое ожидание произведений их отклонений:

(6)

Корреляционный момент служит для описания связи между случайными величинами Х и Y. Из свойств математического ожидания легко убедиться в том, что можно записать в следующем виде:

(7)

Для непосредственного вычисления корреляционного момента (ковариации) используется формула

(8)

Из формулы (9.7) следует, что корреляционный момент двух независимых случайных величин Х и Y равен нулю. Если корреляционный момент не равен нулю, то, стало быть, величины Х и Y являются зависимыми.

Определение 9. Коэффициентом корреляции случайных величин Х и Y называется отношение их корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

(9)

Из определения и свойств математического ожидания и дис­персии следует важный вывод, что абсолютная величина коэф­фициента корреляции не превосходит единицы:

или

Определение 10. Две случайные величины Х и Y называются коррелированными, если их корреляционный момент (коэффи­циент корреляции) отличен от нуля; если же их корреляцион­ный момент равен нулю, то Х и Y называются некоррелированными.

Таким образом, две коррелированные случайные величины (т.е. при ) являются также и зависимыми. Обратное утверждение неверно, т.е. две зависимые величины могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.

Линейная регрессия. Пусть (X, Y) — двумерная случайная величина, где Х и Y — зависимые случайные величины. Оказывается возможным приближенное представление величины Y в виде линейной функции величины X: